2021年第20届中国女子数学奥林匹克试题(两天试题word版+原卷版，含部分解析）

2 0 2 1 中 国 女 子 数 学 奥 林 匹 克 第二天 2021年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 5. 从集合中任选4个（可以相同的）数，求证：在这4个数中，必可以适当的选取，使关于x的同余方程有解． 6．S是一个有限集合，是S所有子集的集合，求证：对任意一个函数都有 7．在△ABC中，AB>AC，K是B关于AC的对称点，L是C关于AB的对称点，X是△ABC内一点且满足AX⊥BC，XL=XK．过点X作CK的垂线交BK于Y，过点X作BL的垂线交CL于Z．求证：B、C、O、Y、Z五点共圆． 8．设m，n是正整数，记证明：存在mn次整系数多项式满足，且的项的系数都是正整数．021中国女子数学奥林匹克 第二天 021年8月13 午8:00~12:00 从集合{1,2…20}中任选4个(可以相同的)数,求证:在这4个 必可以适当的 取a,b,C,使关于x的同余方程ax≡b(modc)有解 6.S是一个有限集合,P(s)是S所有子集的集 对任意一个函数f:P(s)→R都 有 f(4)f(B)2 是B关于AC的对称 C关于AB的对称 △ABC 作CK的垂线 的垂线交 CL于Z.求证 是正整数,记∫(x)=(x-1) 明:存在m次整系数多项式h(x) )h(x)=g(x),且h(x)的mn 数 是正整数2 0 2 1 中 国 女 子 数 学 奥 林 匹 克 第一天 2021年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 1. ，，其中，满足，求证： （1）；（2） 2．△ABC内接于圆O．I、J分别是△ABC的内心和∠BAC所对的旁心，点X．Y在圆O上， 满足∠AXI＝∠AXJ＝90°，线段IJ的中垂线交直线BC于K点，求证：AK平分XY． 3．求最小的n，对n×n的方格表，红黄蓝三染色，满足：（1）每种颜色的方格数目相同；（2）若某行有红格，则该行必有蓝格，且无黄格；（3）若某行有蓝格，则该行必有红格，且无黄格． 4．称为CGMO数列，若为严格递增的正整数数列．对满足存在，且为完全平方数．求证：存在常数，对任意CGMO数列，存在，当时，有．021中国女子数学奥林匹克 第一天 2021年8月12日上午8:00~12 △ABC内接于圆 分 BC的内心和∠BAC所对的旁心,点 线段的中垂线交直线 K点,求证 分 3.求最 的方格 蓝三染色,满足 每种颜色的方格数 若某行有红格 行必有蓝 无黄格:(3)若某 格,则该行必有红格 且无黄格 称{a 数列,若 为严格递增的正整数数列.对Vn≥2020,a,满足 平方数.求 常数C1,C2,对任意CGMO 数列,存在 有C题目：△ABC内接于圆O．I、J分别是△ABC的内心和∠BAC所对的旁心，点X．Y在圆O上，满足∠AXI＝∠AXJ＝90°，线段IJ的中垂线交直线BC于K点，求证：AK平分XY． 证明：设AI交△ABC于另一点M，YJ交△ABC外接圆与另一点E，AY，AX分别交直线BC于F，G. 因为∠AYE＝90°， 所以AE是直径，X，Y，E三点共线，EM⊥IJ， 由鸡爪定理，MB＝MC＝MI＝MJ， 所以M，E，K三点共线， 由切割线定理，GX·GA＝GC·GB， 所以点G对于OM与⊙（A，X，J）等幂， 即点G在OM与⊙（A，X，J）的根轴上， 因为OM与O（A，X，J）外切，I为切点， 所以IG⊥AM， 同理，FJ⊥AM， 于是IG，KM，FJ互相平行， 由平行线等分线段定理，K是FG中点， 注意到△EMJ≌△EMI， 由射影定理，LAFJ＝ZEJM＝ZEIM＝ZAIX＝ZAGI， 于是△AJF∽△AIG， 所以， 所以XY∥FG， 由射线束定理，AK平分XY. 推广： 给定△ABC及其内心、A旁心,X、Y为⊙ABO上两点,满足 AX=∠AY=90°,K是BC上一点,满足K=KJ 证明:AK平分线段XY.(2021 CGMO P2) 证明:设A关于⊙(ABO)的对径点为A',则X交￥于A’,设中点 为M,则KM且M为弧BC中点故A在MK上,即Al=A,于是 AM是∠XAY的外角平分线,故M是弧XY中点,即XYBC,设 AX交BC于,AY交BC于V由于⊙(AX)、⊙(BC)相切,两圆与 ⊙(ABC的根心必满足 ULAM,同理⊥AM,由M是中点即 知K是中点,即AK平分线段UV,再由XY/即证原题 (By llddeddym) B 给定△ABC,平面上Ⅰ、V两点满足△ABU顺相似于△AVC, ⊙(ABC上两点X、Y满足∠AXU=∠AYV=90°K是BC上一点, 满足KL=KV设关于△ABC的等角共轭点为Lr ... ...