（3）导数及其应用———2021年高考数学真题模拟试题专项汇编 1.【2021年广西桂林模拟(文)，3】曲线在点处的切线的方程为( ) A. B. C. D. 2.【2021年全国乙卷(理)，10】设，若为函数的极大值点，则( ) A. B. C. D. 3.【2021年广西桂林模拟(文)，12】已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则 ①；②；③；④. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①③④ B.①②③ C.②③④ D.①②④ 4.【2021年全国乙卷(理)，12】设，，，则( ) A. B. C. D. 5.【2021年全国甲卷(理)，13】曲线在点处的切线方程为_____. 6.【2021年新高考Ⅰ卷，15】函数的最小值为_____. 7.【2021年新高考Ⅱ卷，16】已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是_____. 8.【2021年北京卷，19】已知函数. （1）若，求在处切线方程； （2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值. 9.【2021年全国甲卷(文)，20】设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. 10.【2021年全国乙卷(理)，20】设函数，已知是函数的极值点. （1）求a. （2）设函数，证明：. 11.【2021年全国乙卷(文)，21】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标. 12.【2021年全国甲卷(理)，21】已知且，函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围. 13.【2021年新高考Ⅱ卷，22】已知函数. （1）讨论的单调性. （2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点. ①，； ②，. 14.【2021年新高考Ⅰ卷，22】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 15.【2021年浙江卷，22】设a，b为实数，且，函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足.(注：是自然对数的底数) 答案以及解析 1.答案：B 解析：，，则切线方程为. 2.答案：D 解析：本题考查函数的性质、导数的计算与应用.（穿针引线法）当时，若a为极大值点，则如图1，必然有，，可知B项和C项错误；当时，若a为极大值点，则如图2，则有，，可知A项错误，综上所述，可知D项正确. 3.答案：A 解析：设，则 因为时，， 所以时，， 因此在上单调递增，所以，，，即，，. 4.答案：B 解析：本题考查代数式的大小比较、函数的图象与性质、导函数及其应用.由于，，，则有，可以排除选项A，D；设函数，则有，求导可得，当时，，则，故函数在上单调递增，所以，所以，可排除选项C.综上所述，. 5.答案： 解析：本题考查导数的几何意义、直线的方程.可知切点为，求导可得，故，则所求切线方程为，即. 6.答案：1 解析：本题考查分段函数的概念与单调性.因为所以当时，单调递减，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，所以当时，取得最小值1. 7.答案： 解析：本题考查利用导数的几何意义求切线方程及取值范围问题.画出的图象，如图所示，由题意知两条切线的斜率存在且不为零.当时，，，过点的切线斜率；当时，，，过点的切线斜率.因为两条切线互相垂直，所以，即，即，所以.过点的切线方程为，令，则；过点的切线方程为，令，则，则，，所以.因为，所以，所以的取值范围为. 8.答案：（1）当时，，， 所以，， 故在处切线方程为，整理得； （2）因为，则， 若函数在处取得极值，令，即，解得， 经检验，当时，为函数的极大值，符合题意. 此时，，函数定义域为R，， 令，解得，， ，随x的变化趋势如下表： x -1 4 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 故函数的单调递增区间为和，单调递增区间为. 极大值为，极小值为. 又因为时 ... ...
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