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课件网) 1.3.2 函数的极值与导数 庐山 题西林壁 苏轼[宋] 横看成岭侧成峰，远近高低各不同。 不识庐山真面目，只缘身在此山中。 庐山 1，创设情景，引入课题 下图为庐山主峰的部分剖面图： “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”描述的是庐山的高低起伏错落有致，在群山中各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是附近的最高点，各个山谷的底端虽然不一定是群山的最底处，但它却是附近的最低点。那么其中到底蕴含了怎样的数学知识和数学思想呢？ 2，提出问题，分析探究 （1）极小值点与极小值 如图，一般地，设函数y＝f(x)及y＝f'(x)在点x＝a及其附近有定义，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_____，且_____；而且在点x＝a的左侧_____，右侧_____，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)<0 f′(x)>0 x y o a b y=f(x) <0 >0 f ’(a)=0 都小 f′(a)＝0 3，抽象概括，形成概念 （2）极大值点与极大值 如图，一般地，设函数y＝f(x)及y＝f'(x)在点x＝b及其附近有定义函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且_____；而且在点x＝b的左侧_____，右侧_____，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_____、_____统称为极值点，_____和_____统称为极值． f′(x)>0 f′(x)<0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 <0 >0 x y o a b y=f(x) 都大 f′(b)＝0 f′(b)＝0 y a b x1 x2 x3 x4 O x 例1，请认真观察右侧图像，回答以问题： ①图中有哪些是极值点他们对应的极值又是什么？ ②a,b是极值点吗？ ③极大值一定比极小值大吗？ 4，例题选讲，夯实基础 注意： o a x1 x2 x3 x4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2)) （1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. （4）极值点一定在区间的内部，端点不可能成为极值点. 解：f′(x)＝3x2－6x－9. 解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 因此，当x＝－1时函数取得极大值，且极大值为f(－1)＝10； 当x＝3时函数取得极小值，且极小值为f(3)＝－22. 例2求函数 的极值. 求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求方程 的根； （3）用方程 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格； （4）由 在方程 的根左右的符号，来判断 在这个根处取极值的情况. 若 左正右负，则 为极大值； 若 左负右正，则 为极小值. 求导 求极点 列表 求极值 定义域 求函数 的极值. 5，自主练习，展示成果 思考：导数为0的点一定是极值点吗？ 6，循序渐进，突破难点 例题3：判断函数 有无极值？ 结论： 若 是极值，则 ； 反之，若 ，则 不一定是极值. 即函数的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件 7，回顾反思，总结提升： 1、极大值、极小值的定义； 2、利用导数求极值的方法. 数学素养： 知识层面： 数形结合思想；观察、归纳总结思想. “不识庐山真面目，只缘身在此山中”讲的是为什么不能辨别庐山的真面目呢？只因为我们身在庐山之中，我们的视野被庐山的峰峦所局限，我们只能看到庐山的一峰一谷，一丘一壑，要想从整体把握庐山，我们必须走出庐山，全面考虑，那么，这其中又蕴含了怎样的数学知识呢？它其实就是我们下节课要讲的《函数的最值与导 ... ...
