苏教版（2019）高中数学 选择性必修第一册 培优课　求数列的通项课件(共16张PPT)+学案

培优课　求数列的通项 数列是高考必考内容，研究数列就是抓住两点：一求通项，二求和. 求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解. 类型一　利用累加、累乘法求数列的通项公式 【例1】　(1)数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N 都有an＋1＝a1＋an＋n，求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an，求an. 解　(1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1， 即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2).以上各式两边同时相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n(n≥2)， 得an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，n≥2. 又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N . (2)由条件知＝，分别令n＝1，2，3，…，n－1，代入上式得(n－1)个等式，累乘， 得···…·＝×××…·(n≥2). ∴＝，又∵a1＝，∴an＝，n≥2. 又a1＝也适合上式，∴an＝，n∈N . 思维升华　(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式. 将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1). (2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式. 将原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)，即an＝a1f(1)·f(2)…f(n－1). 类型二　构造等差(比)数列求通项公式 【例2】　(1)在数列{an}中，a1＝，6anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N ). ①证明：数列是等差数列； ②求数列{an}的通项公式. (2)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－3，求an. (1)①证明　由6anan－1＋an－an－1＝0， 整理得－＝6(n≥2)，故数列是以3为首项，6为公差的等差数列. ②解　由①可得＝3＋(n－1)×6＝6n－3， 所以an＝，n∈N . (2)解　由an＋1＝2an－3得an＋1－3＝2(an－3)， 所以数列{an－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则an－3＝(－1)·2n－1，即an＝－2n－1＋3. 思维升华　(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如an＋1＝pan＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下： 第一步　假设递推公式可改写为an＋1＋t＝p(an＋t)； 第二步　由待定系数法，解得t＝； 第三步　写出数列的通项公式； 第四步　写出数列{an}的通项公式. 类型三　利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 【例3】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N ，则an等于(　　) A.2n＋1 B.2n C.2n－1 D.2n－2 (2)已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝an，则的最大值为(　　) A.－3 B.－1 C.3 D.1 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，Sn－1＝2an－1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以＝2.因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A. (2)由Sn＝an得，当n≥2时，Sn－1＝an－1， 两式作差可得：an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，整理得＝＝1＋， 由此可得，当n＝2时，取得最大值，其最大值为3. 思维升华　已知Sn＝f(an)或Sn＝f(n)的解题步骤： 第一步　利用Sn满足条件p，写出当n≥2时，Sn－1的表达式； 第二步　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an或者转化为an的递推公式的形式； 第三步　若求出n≥2时的{an}的通项公式，则根据a1＝S1求出a1，并代入n≥2时的{an}的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{an}的递推公式，则问题化 ... ...