苏教版（2019）高中数学 选择性必修第一册 培优课　数列求和课件(共23张PPT)+学案

(课件网) 培优课　数列求和 研究数列求和的关键是研究通项，然后根据通项的形式选择合适的求和方式.常用方法除公式法外，还有分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等. 类型一　分组法求和 【例1】　已知正项等比数列{an}中，a1＋a2＝6，a3＋a4＝24. (1)求数列{an}的通项公式； 解　设数列{an}的公比为q(q>0)， (2)数列{bn}满足bn＝log2an，求数列{an＋bn}的前n项和. 解 bn＝log22n＝n，设{an＋bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(an＋bn) ＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 思维升华 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列. 类型二　裂项相消法求和 解　设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn， 因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20， (1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. 常见的拆项公式： 思维升华 (2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止. (3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 思维升华 【例3】　已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. 类型三　错位相减法求和 1.一般地，如果数列{an} 1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. 2.用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式. 是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法. 思维升华 【例4】　已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1 010，2).数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N ，则S2 019＝_____. 类型四　倒序相加法 4 038 解析　由条件得f(2×1 010－x)＋f(x)＝2×2， 即f(2 020－x)＋f(x)＝4， 于是有a2 020－n＋an＝4(n∈N ). 又S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＋a2 019， S2 019＝a2 019＋a2 018＋…＋a2＋a1， 两式相加得2S2 019＝(a1＋a2 019)＋(a2＋a2 018)＋…＋(a2 018＋a2)＋(a2 019＋a1) ＝2 019(a1＋a2 019)＝2 019×4. 故S2 019＝2 019×2＝4 038. 如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和. 思维升华 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； 尝试训练 解　设等差数列{an}的公差为d， 由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5， 即3a2＝a5，∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解 由(1)可得bn＝(－1)n－1×(2n－1)， ∴T2n＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(4n－3)－(4n－1)] ＝(－2)·n＝－2n. 2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. 解　设数列{an}的公差为d， 解得a1＝3，d＝2， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1. 3.已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列. (1)求数列{anbn}的通项公式； 解　∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9. ∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5. 设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列， ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2. ∵bn>0，∴d＝－10应舍去 ... ...