函数关系的建立———绝对值和函数模型的建立与运用 教学目标 理解绝对值和函数的几何意义，归纳概括绝对值和函数最值的数学模型． 利用绝对值和函数最值的数学模型，运用化归的思想方法，解决相关问题． 通过创设情境，初步形成自主研究数学问题的能力，养成层层递进地思考数学问题的习惯，体验突破困难取得成功的喜悦． 教学重点： 绝对值和函数性质的探究与其最值数学模型的建模过程． 教学难点： 运用绝对值和函数最值的数学模型解决相关问题． 教学过程： 一、引入课题 我们在作业中遇到过这样一道高考题： 引例（1）(2014安徽)若函数的最小值为，则的值_____． （解法一）分类讨论、零点分段 当a≥2时，f(x)＝ 当a<2时，f(x)= 综上可知，a的值为－4或8. （解法二）几何意义：距离之和 根据绝对值的几何意义，此函数可看做是数轴上一点到的距离与到距离的两倍之和，显然，当介于与之间时，为定值，只需使剩下的取到最小值0时，函数值最小．因此 ．a的值为－4或8. 解法一是绝对值和函数问题的常规解法，不过解法二更加高效简洁，形象生动．将上述例题看作是3个绝对值相加的问题，那么如果改变题中绝对值的个数，如4个、5个……绝对值相加，问题的情形会发生哪些变化，它们的一般情况是什么样的呢？今天我们就这个问题做一个深入的探究． 二、模型建立 我们把形如,其中, 的函数称作绝对值和函数．根据绝对值的几何意义，在其定义域上没有最大值，而有最小值，并且最小值处的自变量取值与函数中绝对值的零点有关． 问题分析：类似于例题的情况，当奇数个绝对值相加时，函数的几何意义为数轴上的一点到个零点的距离之和． 显然：要函数值较小，应该取在最外侧两零点之间，并且当时，到这最外侧两零点的距离之和为定值，即：． 那么，我们再考虑在之间的情况，同样可以得到相应的结果．以此类推，重复上述过程， 最终只剩下居中的零点，此时，只需要到的距离最小时，即：时，取最小值． 类似地，当偶数个绝对值相加时，重复上述过程（1）（2），最终将剩下居中的两个零点，此时，当任意，到这两零点的距离之和为定值，函数都可取到最小值． 建模：对于上述绝对值和函数，存在，使得对任意都有．且 （1）当为奇数时，； （2）当为偶数时，． 模型检验：的选取与零点的个数n有关，与每个点之间的距离无关，特别的，当两点间的距离为0时，上述模型仍适用． 三、模型应用 问题（1）运用最值模型解答下列问题． （i）函数的最小值． 解：，当时，． 讲解：模型的基本运用，本题是六个绝对值相加的情形． （ii）不等式，对任意恒成立，其中，求实数的取值范围． 解：令，则． 当时，等号成立． 或 讲解：模型的转化运用，当不是整数时，也可以化归到整数的问题来解． 变式：思考若，是否还能使用最值模型求解？ 当时，等号成立． 或 四、模型图像 利用几何画板，分别绘制为奇数和偶数时，绝对值和函数的大致图像． 0 通过展示、观察、讨论，我们可以将图像可简单分为尖锥型和平底型两种，都由若干条线段以及最外侧两条射线组成，各段线段交点的横坐标为一个绝对值的零点．若这些零点关于某个点对称分布，则整个函数图像具有对称性． 五、运用模型，体会感悟 问题（2）借助绝对值和函数的图像，并研究下列问题． （i）（2012静安一模14）函数关于某条直线对称，求的值． 解：，， 讲解：简单高效，解决难题． （ii）已知函数 且 ，则满足条件的所有互异的整数的和是 ． 解：（1）为偶函数，，解得或 （2）根据绝对值和函数性质，当也满足题意，解得 由（1）（2）得，所有互异的整数的和是4. 讲解：解答本题时，往往容易遗漏情况（2），此时需要我们对绝对值和函数的图像有直观的认识以及灵活的运用. 问题（3）：（2009年上海市高考数 ... ...
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