专题33 基本不等式中常见的方法求最值 一、题型选讲 题型一 、消参法 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 例1、【2020年高考江苏】已知，则的最小值是 ▲ ． 【答案】 【解析】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知，且，则的最小值为_____. 【答案】10 【解析】因为,所以, 所以 , 因为,所以, 当且仅当,解得,此时, 所以的最小值为:10. 故答案为10 例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为_____． 【答案】. 8 【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)， 所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8. 解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0， 所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8. 题型二、双换元 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系 例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知，，且，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 设，则， ∵，， ∴ 又 当时，，在题目要求范围内， 即 故答案为： 例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为 ． 【答案】： 【解析】、 所以， 因为 所以 题型三、“1”的代换 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。 例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（ ） A．6 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴，且，， ∴， ∴ ， 当且仅当且即时，等号成立； 故选：C． 例7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图可知x，y均为正，设， 共线， ， ， 则， ， 则的最小值为，故选D. 例8、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当时，又 即时等号成立， 故的最小值为9. 故答案为：9 题型四、齐次化 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。 例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知为正实数，则的最小值为_____. 【答案】. 【解析】解：令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 例10、.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若实数满足：，则的最小值为____. 【答案】 【解析】由题意得：， 令，则， ， 设，可得： ， 令，可得，其中舍去， 可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 可得当时，原式有最小值，代入可得： ， 故可得的最小值为， 故答案为：. 二、达标训练 1、【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立； 当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是( ) A．1 B． C．9 D．18 【答案】A 【解析】奇函数在R上单调，则 故即 当即时等号成立 故选： 3、（2020届 ... ...
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