中小学教育资源及组卷应用平台 专题二 函数和导数 07 导数的概念及运算 考纲对本模块内容的具体要求如下： 导数的计算是导数模块知识掌握的基础，必须熟练掌握，高考中特别是对导数的几何意义的考查常会单独命题，具体要求如下： 1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义. 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数. （2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数. 数学抽象：1.能从教材实例中抽象出导数的概念. 2.能从教材探究中理解导数的运算性质. 数学运算：1.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则. 2.能掌握复合函数的求导法则，能利用导数的几何意义解决求切线方程、切点坐标、参数的范围等问题. 一、导数的概念 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′即f′x0＝. 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 二、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 三、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q ) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 四、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 五、复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【常用结论】 1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2.′＝－. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 考点一 导数的计算 （2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）． 答案（1）；（2）；（3）． 解析：（1）∵， ∴． （2） ． （3）． 【规律方法】 导数计算的技巧 求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量. 复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时刻换元. 【跟踪练习】（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）． 答案（1）；（2）；（3）；（4）． 解析：（1）方法一：∵， ∴． 方法二：由导数的乘法法则得 （2）根据题意把函数的解析式整理变形可得 ， ∴． （3）根据求导数法则可得 ． （4）根据题意，利用求导的除法法则可得 ． 考点二 导数的几何意义 考法1 求切线方程 （1）（2020·新课标Ⅰ）函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 答案 B 解析：因为f (x)＝x4－2x3，所以f ′(x)＝4x3－6x2，f (1)＝－1.所以f ′(1)＝－2. 因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1. （2）（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 答案 C 解析：因为，所以，，所求切线的斜率， 因此，所求切线的方程为，整理得． 故选：C． 考法2 求切点坐标 （1）（2021·全国高二课时练习）曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D．或 答案 D 解析：切线的斜率， 设切点的坐标为，则． 又∵，∴，解得或， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
