【备考2022 新高考】走向高考一轮复习 04 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用(学生版+教师版)

中小学教育资源及组卷应用平台 专题四 三角函数与解三角形 04 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 考纲对本模块内容的具体要求如下： 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 数学抽象：能根据Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式. 逻辑推理：掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 直观想象：会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象. 一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 [常用结论] 1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为. 2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期． 3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值． 4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 考点一 三角函数的图象及变换　 （1）将函数的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为(　　)21教育名师原创作品 A. 　　　 B. C. D. 答案 B　 解析：把函数的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，可得的图象， ∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)， ∵φ＞0，∴φmin＝. （2）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ） A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度 C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度 D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】 首先将函数化成正弦型函数，再通过伸缩变换和平移变换求解即可. 【详解】 由诱导公式可得，， 对于选项A：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故A错误； 对于选项B：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故B错误； 对于选项C：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故C错误； 对于选项D：通过伸缩变换以及平移变换得，， 故D正确. 故选：D. 【规律方法】 1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标. 2.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.21·世纪*教育网 【跟踪练习】（1）（2021·河南高三月考（理））已知函数（，）的最小正周期为，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数的周期为可得的值，由三角函数图象的平移变换求平移后的解析式，结合偶函数以及可得的值，进而可得的解析式，将代入即可求解. 【详解】 因为函数的最小正周期为， 所以，所以， 图象向左平移个单位长度后所得函数为， 因为是偶函数，所以， 所以， 因为，所以，， 所以， 所以， 故选：D. （2）（2021·全国高三月考（文））函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）21·cn·jy·com ( http: / / www.21cnjy.com / ) A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线 C．图象的 ... ...