求轨迹方程的六种常用方法（PDF版含答案）

求轨迹方程的六种常用方法 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公 式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例 1．已知线段 AB 6，直线 AM , BM 相交于 M 4，且它们的斜率之积是 ，求点 M 9 的轨迹方程。 解：以 AB 所在直线为 x轴， AB 垂直平分线为 y轴建立坐标系，则 A( 3,0), B(3,0) ， 设点 M 的坐标为 ( x, y)，则直线 AM y的斜率 kAM ( x 3) ，直线 BM 的斜 x 3 率 k yAM (x 3) x 3 y y 4 由已知有 ( x 3) x 3 x 3 9 x2 y2 化简，整理得点 M 的轨迹方程为 1(x 3) 9 4 练习： 1．平面内动点 P 到点 F (10,0) 的距离与到直线 x 4的距离之比为 2，则点 P 的轨迹方 程是 。 2 2 2．设动直线 l 垂直于 x轴，且与椭圆 x 2y 4交于 A、 B 两点， P 是 l 上满足 PA PB 1的点，求点 P的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是 （ ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 1 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义 法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭 圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例 2．若 B( 8,0), C(8,0) 为 ABC 的两顶点， AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30， 则 ABC的重心轨迹方程是 _____。 解：设 ABC的重心为 G(x, y)，则由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30可得 2 BG CG 30 20，而点 B( 8,0), C(8,0) 为定点，所以点 G 的轨迹为以 B, C 3 为焦点的椭圆。 所以由 2a 20, c 8可得 a 10,b a2 c2 6 2 2 故 ABC x y的重心轨迹方程是 1(y 0) 100 36 练习： 4．方程 2 (x 1) 2 ( y 1)2 | x y 2| 表示的曲线是 （ ） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线 3．点差法 圆 锥曲线 中与 弦 的中点 有 关的 问题可用 点差法 ，其 基 本方法 是把 弦 的两端 点 A(x1, y1), B( x2 , y2) 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1 x2， y1 y2， x1 x2， y1 y2等关系式，由于弦 AB 的中点 P(x, y)的坐标满足 2x x1 x2， y y 2y y1 y2且直线 AB 2 1的斜率为 ，由此可求得弦 AB中点的轨迹方程。 x2 x1 x23 y 2 例 ．椭圆 1中 , 过 P(1,1)的弦恰被 P 点平分 , 则该弦所在直线方程为 4 2 _____。 解：设过点 P(1,1)的直线交椭圆于 A(x1, y1 )、 B(x2, y2 )，则有 x 21 y 2 1 x 2 y 2 1 2 2① 1 ② 4 2 4 2 (x1 x2)( x1 x2 ) ( y1 y2)( y1 y2 ) ① ②可得 0 4 2 2 而 P(1,1)为线段 AB 的中点，故有 x1 x2 2, y1 y2 2 ( x1 x2) 2 ( y1 y2) 2 y1 y所以 0 2 1 1 ，即 kAB 4 2 x1 x2 2 2 1 所以所求直线方程为 y 1 (x 1)化简可得 x 2y 3 0 2 练习： 5 2 2．已知以 P(2, 2)为圆心的圆与椭圆 x 2y m交于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。 6 2 y 2 ．已知双曲线 x 1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点，使 P 2 为线段 AB 的中点？ 4．转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点 P在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点 M 随 P 的变化而变化； ③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律。 2 4 P F ,F x y 2 例 ．已知 是以 1 2为焦点的双曲线 1上的动点，求 F1F2P的重心 G 的16 9 轨迹方程。 解：设 重心 G(x, y)，点 P(x0, y0 )，因为 F1( 4,0), F2 (4,0) 4 4 x x 0 2 2x 则有 3 ， 故 0 3x x y 代入 0 0 0 0 y 1 y 0 y0 3y 16 9 3 9x2 得所求轨迹方程 y2 1(y 0) 16 3 例 5．抛物线 x2 4y的焦点为 F , 过点 (0, ... ...