【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第4讲 方程与根（PDF版含解析）

第四讲 方程与根 一、知识方法拓展 1. 函数零点定义： 对于函数 y f x ,使 f x 0 的实数 x我们称为函数 y f x 的零点。 结论：如果函数 y f x 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续的曲线，并且有 f a f b 0，那么，函数 y f x 在区间 a,b 内存在零点，即存在 c a,b ，使 得 f c 0，这个c 也是方程 f x 0 的根。 函数 y f x 零点的判断方法： ①方程法：解方程 f x 0 ，得函数 y f x 的零点。 ②图象法：画出函数 y f x 的图象，其图象与 x轴交点的横坐标是 y f x 的零点。 ③定义法：函数在区间[a,b]上图象是一条连续的曲线，并且有 f a f b 0， f x 至 少有一个零点。 2. 高次方程韦达定理 ①三次方程韦达定理 3 设三次方程ax bx2 cx d 0的三个根为 x1, x2 , x3 ,那么 b x1 x2 x3 ,a c x1x2 x1x3 x2x3 , a d x1x2x3 . a n n 1 n 2 ②如果一元 n 次多项式 f x anx an 1x an 2x a1x a0 的根为 x1, x2, , xn , 那么 a x1 x2 x n 1 n a n a x1x2 x1x3 x n 2 n 1xn a n a x1x2x3 x x x x x x n 3 1 2 4 n 2 n 1 n an n ax1x2x3 x 1 0 n a n 以上定理称为韦达定理。它确定了根与系数的关系。利用韦达定理，一元 n次方程可直接求 方程的根。 3. 整系数多项式 设 f x K x , C ，若 f 0 ，则称 为 f x 的根（或零点）；又若 x 是 f x 的 k 重因式，则称 为 f x 的 k重根，当 k 1时，称 为 f x 的单根。 代数基本定理： 任意一个次数不小于 1 的多项式至少有一个复数根。 根的个数定理： 任意一个n(n 1)次多项式的复数根的个数（依重数累加）恰有 n 个，依 n 次 定 理 可 知 任 何 一 个 f x anx a0 C x 可 以 分 解 为 a a f x an x x 1 1 x x k * k ，其中 x1 x2 xk ，为两两不同的复数， N ，且i k i n 。这是多项式 f x 在复数范围内的标准分解式。 i 1 虚 根 成 对 定 理 ： 设 f x R x , z a bi 为 f x 的 复 根 ， 即 f z 0 ， 则 f z f z 0，于是 z a bi 也是 f x 的根。也就是说实系数多项式的虚根成对出 现。 n 实 系 数 多 项 式 分 解 定 理 ： 设 f x anx a0 R x , 则 f x 可 分 解 为 f x a x x x x x2n 1 m 2b1x c1 x2 2bix ci ， 其 中 x1, , xm R,bi ,ci R, 2 且bi 4ci ,1 i l.m,l N,m 2l n。 n P 整系数多项式的有理根： 设 f x anx a0 Z x , p,q z, pq 0, p,q 1 q p 是 f x 的有理根，则 p a0 ,q an ，并且可写 f x x g x qx p h x ，其 q 中 g,h Z x 。 依上述定理可知，若 f x Z x ， f x 的首项系数为 1，则 f x 的有理根都是整数根。 二、热身训练 x2 +2x-3,x 0 1.函数 （f x)= 的零点个数为 ( ) -2+ ln x,x>0 A. 3 B. 2 C． 1 D． 0 【答案】 B 2 【解析】当 x 0时，令 x 2x 3 0 解得 x 3； 当 x 0时，令 2 ln x 0解得 x 100，所以已知函数有两个零点，选B 。 2. 若 方 程 x p x 有 两 个 不 等 实 根 ， 则 实 数 P 的 取 值 范 围 是 （ ） 1 1 1 A. P≤0 B. P＜ C. 0≤P＜ D. P≥ 4 4 4 【答案】C x p x2 【解析】 x p x x2 二次方程 x p 0有两个不等的非零实数根。 x 0 1 4p 0 1 即 x1 x2 1 0 0 p 4 x1x2 p 0 f x 2ax23. 已知 a是实数，函数 2x 3 a，如果函数 y f x 在区间 1,1 上有零 点，求 a的取值范围( ). 3 5 3 5 3 5 A. a 5,a B. a ,a 2 2 2 3 5 3 5 C. a 1,a D. 1 a 2 2 【答案】C 【解析】若a 0 , f (x) 2x 3 ,显然在 1,1 上没有零点, 所以 a 0. 3 7 4 8a 3 a 8a2 24a 4 0 a 令 , 解得 2 3 7 a y f x 1,1 ①当 2 时, 恰有一个零点在 上; ②当 f 1 f 1 a 1 a 5 0，即1 a 5 y f x 1,1 时， 在 上也恰 有一个零点. y f x 1,1 ③当 在 上有两个零点时, 则 a 0 a 0 8a2 24a 4 0 8a2 24a 4 0 1 1 1 1 1 1 2a 2a f 1 0 f 1 0 f 1 0 f 1 0 或 3 5 a 解得a 5或 2 3 5 a 综上所求实数 a 的取值范围是 a 1 或 2 . ... ...