【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第8讲 数列求和，极限和数学归纳法（PDF版含解析）

第八讲 数列求和，极限和数学归纳法 一、知识方法拓展 1.常见的幂和公式 n(n 1) (1)1 2 n 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) (2)1 2 n 6 2 3 3 3 n(n 1) (3)1 2 n 2 n i 注： k 的一个推导方法：利用组合数的性质，如n2 2C2 C1 ，n3 6C3 C1= 等 n 1 n n 1 n k 1 2.数学归纳法的几种形式 (1)第一数学归纳法：如果①当 n 取第一个值 n ,n N* 时，命题成立；②假设当0 0 n k(k N*,k n0)时命题成立，由此推得n k 1时命题也成立，那么对于一切正整数 n n0 都成立。 (2) 第二数学归纳法：如果①当n 1时，命题成立；②假设当n k(k N *,k 1) 时命题 成立，由此推得n k 1时命题也成立，那么对于一切正整数 n 都成立。 (3) 跳 跃 数 学 归 纳 法 ： 如 果 ① 当 n 1,2,3, ,m 时 ， 命 题 成 立 ； ② 假 设 当 n k(k N *,k m)时命题成立，由此推得 n k m时命题也成立，那么对于一切正整 数 n 都成立。 * (4) 反向数学归纳法：如果①对无穷多个 n ，命题成立；②假设当n k 1(k N )时命题 成立，由此推得n k 时命题也成立，那么对于一切正整数 n 都成立。 3.分式型数列极限的运算规则 0 p q a a n a n2 a n p 0 1 2 p ap (1) lim 2 q p q n b0 b1n b2n bqn bq p q (2)假设 a1 a2 ap , b1 b2 bq 0 ap bq c an1 1 c n n 2 a2 cp ap cp lim an n n p bq n d1 b1 d2 b2 dq bq dq ap b q 4.常见极限 an (1) lim 0(a 0) n n! nk (2) lim 0(a 1) n an ln n (3) lim 0 n n sin x x (4) lim lim 1 x 0 x x 0 sin x 1 1 x 1 1 (5) lim(1 ) e , lim(1 x) x e , lim(1 )x x x x 0 x x e 二、热身练习 1.(2011 复旦)设有 4 个数的数列为a1,a2 ,a3,a4 ，前 3 个数构成一个等比数列，其和为 k ，后 3 个数构成一个等差数列。其和为 9，且公差非零，对于任意固定的 k ，若满足条件的数列 的个数大于 1，则 k 应满足（ ） A.12 k >27 B.12 k <27 C.12 k =27 D.其他条件 2 3 d 分 析 与 解 ： 由 已 知 易 得 a3 3 ， 设 a2 3 d ,a4 3 d ， 则 a1 ， 由 3 2 3 d a1 a2 a3 k 3 d 3 k d 2 9d 3k 27 0 3 因为满足条件的数列个数大于 1 12k 27 0 12k 27 ，选 A 2 2. (2000 交大)若一项数为偶数 2m 的等比数列的中间两项正好是方程 x px q 0 的两 个根，则此数列各项的积是（ ） m 2m m 2m A. p B. p C. q D. q n 2m 分析与解：类比等差数列的各项和公式，得等比数列各项积T m2 2n a1an q q ，选 C an 3. (2003 复旦) a 0, lim _____ n 2n an 0 a 2 an 1 分析与解：比较底数绝对值最大项，得 lim a 2 n 2n n a 2 1 a 2 an 1 演变：a 0, lim _____ n n n 1 a 2 a<1 n n 1 a 1 分析与解：比较底数绝对值最大项，可忽略 ， lim 2 a=1 2 n n n 1 a 2 1 a>1 三、真题精讲 2 例 1. (2012 华约)已知an lg 1 ，其前 n 项和为 Sn ，求 lim Sn n2 3n n (n 1)(n 2) n 1 n 2 分析与解：an lg lg n(n 3) n n 3 2 3 n 1 3 4 n 2 3(n 1) Sn lg lg 1 2 n 4 5 n 3 n 3 lim Sn lg 3 n 例 2. (2001 复旦)设数列 bn 满足b1 1,bn 0,(n 2,3, )，其前 n 项乘积T (a n 1 n bn ) n ， 其中 a 是大于 1 的常数 n 1,2, (1)求证： bn 是等比数列 (2)求 bn 中所有不同两项的乘积之和 n 1 T bn b 2 1 n 分析与解：(1)由已知，Tn 1 (a n 2b )n 1n 1 bn n a2n 2 n n n 1 a Tn 1 bn 1 bn 1 b n a 2 ，即 bn 是等比数列 bn 1 (2) bn 中所有不同两项的乘积之和即Hn b1b2 b1b3 b1bn bn 1bn 2 2H 2 2 2又 n b1 b2 bn b1 b2 bn 2 2n 4n 2n 2n 2 a 2 1 a 1 a 2(a 1)(a 1) 当 1, 即a 1时，2Hn 1 a 2 1 a 4 a4n 6 (a2 1)(a 4 1) (a2n 1)(a2n 2 1) Hn a4n 6 (a2 1)(a4 1) 2 2 2 n n当 a 1, 即a 1时，2Hn n n H n 2 n n 1 例 3. (2010 南开)求证：(1) n! , (n 2) 2 n n 2 (2) n! 6 分析与解：观察题型，显然用数学归纳法解 ... ...