5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质的应用-学案（Word版）

第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质的应用-学案 课标要求 素养要求 1.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象确定其解析式. 2.整体把握函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质，并能解决有关问题. 通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模素养. 自主梳理 1.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）中，A，ω，φ的物理意义 （1）简谐运动的振幅就是A. （2）简谐运动的周期T＝. （3）简谐运动的频率f＝＝. （4）ωx＋φ称为相位. （5）x＝0时的相位φ称为初相. 2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 （k∈Z） 对称轴 x＝＋（k∈Z） 奇偶性 当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数； 当φ＝kπ＋（k∈Z）时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 自主检验 1.思考辨析，判断正误 （1）y＝Asin（ωx＋φ）的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形.（√） （2）在y＝Asin（ωx＋φ）的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期.（×） 提示　相邻对称轴间距离为半个周期. （3）函数y＝sin的图象对称轴为x＝＋（k∈Z）.（√） （4）函数f（x）＝sin的图象的对称中心是（k∈Z）.（×） 提示　由x＋＝kπ（k∈Z），得x＝－＋kπ（k∈Z），故对称中心是（k∈Z）. 2.（多选题）设f（x）＝3sin－1，则（　　） A.f（x）的最小正周期为π B.f（x）的最大值为2 C.把f（x）的图象向左平移个单位后图象关于y轴对称 D.f（x）的图象关于点对称 答案　AB 解析　由T＝＝π知A正确；由于3sin≤3，故f（x）的最大值为2，B正确；把f（x）的图象向左平移个单位后得到函数y＝3sin＝ 3sin 的图象，不关于y轴对称，C不正确；由f＝－1≠0知D错误. 3.若f（x）＝cos是奇函数，则φ＝　　　　. 答案　 解析　由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|<，故当k＝0时，得φ＝. 4.函数f（x）＝2sin的单调递增区间为　　　　. 答案　（k∈Z） 解析　－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），即－＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），∴－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）. 题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）中参数的物理意义 【例1】　（1）简谐运动f（x）＝2sin的图象经过点P（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　） A.T＝6，φ＝ B.T＝6，φ＝ C.T＝6π，φ＝ D.T＝6π，φ＝ （2）函数y＝－6sin，x∈R的振幅、周期、初相为（　　） A.A＝－6，T＝＝π，φ＝ B.A＝－6，T＝＝π，φ＝－ C.A＝－6，T＝＝π，φ＝π D.A＝6，T＝＝π，φ＝π 答案　（1）A　（2）D 解析　（1）由x＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z， 结合|φ|<，知φ＝. （2）y＝－6sin＝6sin ＝6sin，可知选D. 思维升华　首先把函数解析式化为y＝Asin（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0）的形式，再求振幅、周期、初相.应注意A>0，ω>0. 【训练1】　（1）简谐运动y＝4sin的相位、初相、频率是（　　） A.5x－，－， B.5x－，4， C.5x－，－， D.4，，2π （2）函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是（　　） A.2π，－2， B.4π，－2， C.2π，2，－ D.4π，2，－ 答案　（1）C　（2）D 解析　（1）由解析式直接获得. （2）y＝－2sin＝2sin，可知选D. 题型二　由图象求三角函数的解析式 【例2】　如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一部分，求此函数的解析式. 解　法一（逐一定参法） 由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin（2x＋φ）. ∵点在函数图象上， ∴0＝3sin. ∴－×2＋φ＝2kπ（k∈Z）， 得φ＝＋2kπ（k∈Z）. ∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin. 法二（待定系数 ... ...