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课件网) 1．4.2 充要条件 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1．理解充要条件的意义． 2．会判断一些简单的充要条件问题． 3．能对充要条件进行证明． 重点 难点 重点：充要条件的概念及判断． 难点：充要条件的证明. 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p q，那么p与q互为 条件． p q q p p q 充要 充要 对充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的理解 充分条件、必要条件与充要条件是数学中的重要概念，主要适用于区分命题的条件p和结论q之间的关系．为加深对充分条件、必要条件、充要条件的理解，以下从逻辑推理关系和集合的角度进行说明． [即时小练] 1．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1， 则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立， 但当x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立． 答案：B 2．“x>1”是“x＋2>3”的_____条件． 解析：当x>1时，x＋2>3；当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件． 答案：充要 3．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的_____条件． 解析：若△ABC是锐角三角形，则其三个角都是锐角；若∠ABC为锐角，则△ABC可能是锐角三角形，也可能是直角或钝角三角形，所以是充分不必要条件． 答案：充分不必要 [题点一] 充分、必要、充要条件的判断 [典例] 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条 件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p：x2>0，q：x>0； (2)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (3)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； (4)p：A∩B＝A，q： UB UA. [解] (1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件． (2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件． (3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件． (4)∵A∩B＝A A B UB UA，∴p是q的充要条件． [方法技巧] 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性． [对点训练] 1．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C， 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. ∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件． 答案：B 2．(多选)在下列四个结论中，正确的有 ( ) A．x2>4是x3<－8的必要不充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2＝0”是“a，b不全为0”的充要条件 D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件 解析：对于结论A，由x3<－8 x<－2 x2>4，但x2>4 x<－2或x>2 x3<－8或x3>8，不一定有x3<－8，故A正确；对于结论B，由AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，但在直角△ABC中，不一定角A是直角，故B不正确；对于结论C，a2＋b2＝0 a＝b＝0，故C不正确；对于结论D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故D正确． 答案：AD [题点二] 充要条件的证明 ... ...
