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课件网) 我们把研究关于“两点之间，线段最短” “垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径. 新 课 引 入 第十三章 轴对称 13.4课题学习 最短路径问题 问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ A B l 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ l A B C C 转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？ 分析： A B l 如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？ 联想： 两点之间，线段最短. l A B C B （1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？ 分析： l A B C l A B C l A B C B′ 如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？ 在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求. 在直线 l 上任取另一点C′ ， 连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， 点C、C′在对称轴上， ∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小． l A B C B′ C′ 证明：如图. 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择． 方法总结： 问题1 归纳 l A B C l A B C B′ l A B C 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 A B l 问题2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.） 思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？ 如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？ a B A b M N 由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 分析： l A B C a B A b M N A' 如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决. 如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短. a B A b M N A' 解： 另任意造桥M′N′， 连接AM′、BN′、A′N′. 由平移性质可知， AM＝A′N，AM′＝A′N′， AA′＝MN＝M′ N′. ∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′. 在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B， ∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN. 证明： a B A b M N A' N′ M′ 总结归纳： 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。 问题2 归纳 抽象为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 l A B C 小结归纳 l A B C l A B C B′ 转化 轴对称 变换 平移 变换 两点之间，线段最短. 1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l ... ...
