第9讲 圆的方程 一、知识导图 二、知识导入 1、复习预习 （1）初中圆的定义 （2）两点间的距离公式 两点间距离公式： 2、观察引入 同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗 圆的方程怎样来求呢 这就是本堂课的主要内容. 设计意图：由初中知识自然过度到今天要学的知识，对初中知识进行深化，激起学生新的认知冲突，从而调动学生积极性. 3、步步深化 问题1：已知两点,如何求它们之间的距离 若已知,,又如何求它们之间的距离 问题2：具有什么性质的点的轨迹称为圆 问题3：图中哪个点是定点？哪个点是动点 动点具有什么性质 圆心和半径都反映了圆的什么特点 设计意图：通过启发式提问,实现学生从图形语言到文字语言到符号语言多方面研究圆,实现“形”到“数”的转换,从而会用方程形式来描述圆. 三、知识讲解 知识点1 圆的方程 (1)标准方程： 其中圆心为，半径为. 特别地，以原点为圆心，半径为的圆的标准方程为. (2)一般方程：. 其中圆心为,半径为. 方程可变形为 ,故有： 当时，方程表示以 为圆心，为半径的圆； 当时，方程表示一个点； 当时，方程不表示任何图形． 知识点2 点与圆的位置关系 与圆的位置关系 (1)若 ,则点在圆外； (2)若，则点在圆上； (3)若，则点在圆内． 四、例题解析 例1：圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A.(2，3)，3 B.(－2，3)， C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)， 【答案】 D 【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝. 例2：若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值是_____． 【答案】 7 【解析】 四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0，将D(a,3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍)． 例3：已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值. 【答案】 见解析 【解析】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1). 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2). 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3). 又圆心到原点的距离为＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 例4：圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_____． 【答案】 (x－2)2＋y2＝10 【解析】设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|， 即＝，解得a＝2， ∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝＝， ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10. 例5：若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( ) A.(－1，1) B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1 【答案】 A 【解析】 因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1
