第10讲 直线、圆的位置关系 一、知识导图 二、知识导入 思考引入 初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？直线与圆的位置关系有哪几种呢？ 设计意图：启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类. 步步深化 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？现在如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？你能说出判断直线与圆的位置关系的两种方法吗？运用这两种方法如何解答下面例题： 请判断直线与圆的位置关系. 请判断直线与圆的位置关系. 请判断直线与圆的位置关系. 设计意图：由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识，探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法，给学生留有充分的活动时间． 老师可以设置问题： 1.这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系（称此法为“几何法”）．请问用“几何法”的一般步骤如何？ 2.前面我们已经学习了直线方程和圆的方程，还有没有其他方法研究直线与圆的位置关系吗？ 引导学生得出：联立方程组，得到方程组的解的个数，我们有如下一些结论： ①直线与圆相离；②直线与圆相切； ③直线与圆相交． 根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？ 设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想． 知识讲解 知识点1 直线与圆的位置关系及其判定 1．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆_____，有两个公共点； （2）直线与圆_____，只有一个公共点； （3）直线与圆_____，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何判定法： 设为圆的半径，为圆心到直线的距离： ① 圆与直线_____； ② 圆与直线_____； ③ 圆与直线_____． （2）代数判定法： 由消元，得到一元二次方程的判别式，则 ① 直线与圆_____； ② 直线与圆_____； ③ 直线与圆_____． 总结： 代数法:联立直线方程与圆的方程消去或整理成一元二次方程后,计算判别式;当判别式时,直线与圆相离;当判别式时,直线与圆相切;当判别式时,直线与圆相交. 几何法:利用圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系, 相交, 相切, 相离. 知识点2 弦长问题 设直线的方程为，圆的方程为，弦长的求法有几何法和代数法： （1）几何法:如图（1）,直线与圆交于两点,设弦心距为,圆的半径为,弦长为,则有,即 . （2）代数法:如图（2）,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是,则 (直线的斜率存在) 几何法比代数法运算量小,也比较直观、简单,故通常采用几何法解决圆的有关弦长问题. 知识点3 圆的切线方程问题 (1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线. (2)若点在圆上,则过该点的切线只有一条,切线方程求法如下. ①直接法:先求该点与圆心的连线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程. ②设元法:先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数. ③公式法:设是圆上的一点,则过点的切线方程为,特别地,当圆心在原点时,即是圆上一点,则过点的切线方程为. (3)若点在圆外,则过该点的切线有两条.求切线方程时要先分析斜率是否存在. 知识点4 判断圆与圆的位置关系 (1)几何法.若两圆的半径分别为,两圆的圆心距为,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 与的关系 (2)代数法.联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下表所示: 方程组解的个数 两圆的公共点个数 两圆的位置关系 相交 外切或内切 相离 知识点5 判断两个圆公切线的条数 (1)当两个圆相离时,有四条公切线. (2)当两个圆外切时,有三条公 ... ...
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