教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.利用三角恒等变换研究三角函数的性质 数学运算 水平2 水平3 三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，二是变换角的形式。 【考查内容】利用辅助角公式研究三角函数的性质和图像是近几年高考考查的热点。 【考查题型】选择题、填空题、解答题 【分值情况】5--12分 2.能把一些简单实际问题转化为三角问题，通过三角变换解决 数学建模 水平1 水平2 高中数学，同步讲义 必修四 第三章 三角恒等变换 第二讲 简单的三角恒等变换 一、升幂公式：， 降幂公式：， 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 二、辅助角公式 1．形如的三角函数式的变形： = 令，则 = = （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 题型一 应用半角公式求值 例1 已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan . 解析：∵sin θ＝，且＜θ＜3π， ∴cos θ＝－＝－. 由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝. ∵＜＜， ∴cos ＝－ ＝－. tan ＝＝2. 变式训练1 已知sin θ＝－，3π<θ<π， 则tan 的值为( ) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：∵3π<θ<，sin θ＝－， ∴cos θ＝－，tan ＝＝－3. 答案 B 题型二 三角函数式的化简 例2 化简. 解析： ＝ ＝＝＝1. 变式训练2 解析：原式＝ ＝ ＝. 题型三 三角函数式的证明 例3 求证：＝. 证明： 要证原式， 可以证明＝. ∵左边＝ ＝ ＝＝tan 2θ， 右边＝＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证． 变式训练3 求证：－2cos(α＋β)＝. 证明： ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ， 两边同除以sinα得 －2cos(α＋β)＝. 题型四 利用辅助角公式研究函数性质 例4 已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 解析： (1)∵f(x)＝sin＋2sin2 ＝sin[2]＋1－cos ＝2＋1 ＝2sin＋1 ＝2sin＋1， ∴f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)当f(x)取得最大值时，sin＝1， 有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)， ∴所求x的集合为. 变式训练4 已知向量a＝(2sinx，cosx)， b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单凋递减区间． 解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1 ＝sin2x＋cos2x ＝2sin. (1)T＝＝π. (2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ， 则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即函数f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)． 一、选择题 1．若函数f(x)＝－sin2 x＋(x∈R)，则f(x)是( ) A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 解析： f(x)＝－＋＝cos 2x.故选D． 答案 D 2．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是( ) A．1 B．2 C．＋1 D．＋2 解析： f(x)＝(1＋tan x)cos x ＝cos x ＝sin x＋cos x ＝2sin. ∵0≤x<， ∴≤x＋<π， ∴当x＋＝时， f(x)取到最大值2. 答案 B 3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝( ) A．1 B．－1 C．0 D．±1 解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos ... ...
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