中小学教育资源及组卷应用平台 3.1.1椭圆及其标准方程 要点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 【方法技巧】 1.对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 (1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2．定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 要点二 椭圆的标准方程 标准方程 (a＞b＞0) (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 【方法技巧】 (1)椭圆的标准方程的推导，要充分利用椭圆的对称性，当且仅当椭圆的焦点在坐标轴上，且关于原点对称时，椭圆的方程才具有标准形式． (2)在椭圆的标准方程的推导过程中，令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐. 今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0. (3)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右边是1. (4)椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”． 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( ) (2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．( ) (3)方程＋＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．( ) (4)设F1(－4,0)，F2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．( ) 【答案】（1）√（2）×（3）×（4）× 2．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( ) A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D. 3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】C 【解析】由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.故选C. 4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为_____. 【答案】－1或－ 【解析】原方程可化为＋＝1.依题意，得即 所以k的值为－1或－. 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)两焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10； (2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，且椭圆经过点(－，). (3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (4)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又c＝4,2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.于是所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知： 2a＝＋＝2， 即a＝，又c＝2，∵b2＝a2－c2＝6，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. （3）解法一 ①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知，得 即所求椭圆的标准方程是＋＝1. ②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，得 与a>b>0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1. 解法二 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A ... ...
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