高考数学压轴题专题：极值点偏移 1.极值点偏移概念 己知函数y=f(x)是连续函数，在区间(x1，x2)内有且只有一个极值点x0，且f(x1)=f(x2)．若极值点左右的“增减速度"相同，常常有极值点x0=， 此时，称极值点不偏移;若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点，我们称这种状态为“极值点偏移”. 2．解极值点偏移问题的通法 第一步:根据f(x1)=f(x2)建立等量关系，并结合f(x)的单调性，确定x1，x2的取值范围; 第二步:不妨设x10)构造关于t的一元函数，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到对待证不等式的证明. 方法二：对称化构造函数F(x)=f(x)-f(2a-x) ，（a为极值点） 常用方法：消元、消参、构造函数，利用函数的性质解决问题. 例1.2022广州10月调研22.(12分)已知函数f(x) =. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若a>0，设f'(x)为f(x)的导函数，若函数f(x)有两个不同的零点， 求证:. 例2：已知函数f(x)=xe-x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x); (3)如果x1≠x2。且f(x1)=f(x2),证明: x1+x2>2. 总结:用对称化构造的方法求解极值点偏移问题三步走: ①求导，获得f(x)的单调性极值情况，作出f(x)的图像，由f(x1)= f(x2)得x1、x2的取值范围(数形结合); ②构造辅助函数(对结论x1+x2>(<)2a构造F(x)=f(x)-f(2a-x);对结论x1x2>(<)a,构造 F(x)=f(x)-f() .求导,限定范围(x1、x2的范围)，判定符号获得不等式; ③代入x1(或x2)，利用f(x1)= f(x2)及f(x)的单调性证明结论. 例3:2021全国卷新高考22．（12分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1） 在单调递增，在单调递减 （2）由，得 即 令，则为的两根，其中． 不妨令，，则 先证，即证 即证 令 则 恒成立， 得证 同理，要证 即证 令 则，令 又，，且 故，， 恒成立 得证 例4﹒已知函数f(x ) = ln x-ax2+1. 讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=1时，设函数f(x)的两个零点为x1，x2，，试证明:x1 +x2 >2. 巩固练习 已知函数f(x)=ex- ax(aR). (1 )讨论函数f(x)的单调性; ( 2 )若函数f(x)的图象与直线y=a交于A，B两点，记A，B两点的横坐标分别为x1,x2 ,且x10)构造关于t的一元函数，应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到对待证不等式的证明. 方法二：对称化构造函数F(x)=f(x)-f(2a-x) ，（a为极值点） 常用方法：消元、消参、构造函数，利用函数的性质解决问题. 例1.2022广州10月调研22.(12分)已知函数f(x) =. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若a>0，设f'(x)为f(x)的导函数，若函数f(x)有两个不同的零点， 求证:. 例2：已知函数f(x)=xe-x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x); (3)如果x1≠x2。且f(x1)=f(x2),证明: x1+x2>2. ... ...
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