专题八 定值问题3 - 长度为定值 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值. 【答案】（1）（2）见解析 （1）由题意知：，∴，∴. 设的内切圆半径为， 则， 故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时， 所以，把代入，解得：， 所以椭圆方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为， 代入椭圆方程得. 设，则， 所以的中点坐标为， 所以. 因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线方程为， 令，得，即，所以 所以，所以为定值，定值为4. 2．已知圆，圆，如图，分别交轴正半轴于点.射线分别交于点，动点满足直线与轴垂直，直线与轴垂直. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点作直线交曲线与点，射线与点，且交曲线于点.问：的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由. 【答案】（1）（2）是定值，为. （1）如图设,则 ,所以,. 所以动点的轨迹的方程为. 方法二：（1）当射线的斜率存在时,设斜率为,方程为, 由得,同理得,所以即有动点的轨迹的方程为.当射线的斜率不存在时,点也满足. （2）由（1）可知为的焦点,设直线的方程为（斜率不为0时）且设点,,由得 所以,所以 又射线方程为,带入椭圆的方程得,即 , 所以 又当直线的斜率为时,也符合条件.综上,为定值,且为. 3．如图，椭圆的离心率为，以椭圆的上顶点为圆心作圆，圆与椭圆在第一象限交于点，在第二象限交于点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的最小值，并求出此时圆的方程； （Ⅲ）设点是椭圆上异于，的一点，且直线，分别与轴交于点，，的坐标原点，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. (1) 由题意知，,得. 故椭圆的方程为. (2) 点与点关于轴对称，设，由点椭圆上，则,得 .由题意知，,当时，取得最小值.此时，，故.又点在圆上，代入圆的方程，得. 故圆的方程为. （3）设，则的方程为.令，得.同理可得，. 故. ① 都在椭圆上，,代入①得，.即得为定值. 4．已知椭圆的长轴长为4，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点，为椭圆上的两个动点，，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是．请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）点到直线的距离是，是定值． （Ⅰ）设椭圆的半焦距为． 由已知可得，解得． 因为， 易得在中，，，， ． 所以，解得． 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，轴． 由可得． 结合椭圆的对称性，可设，，则． 将点代入椭圆的方程，得， 解得，所以． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 此时点到直线的距离，即． 设，， 由，可得， 则，得． 所以，． 所以 ． 又因为，所以， 即，解得． 所以，得． 综上所述，点到直线的距离是，是定值． 5．已知椭圆：（）上的点到的两焦点的距离之和为6，的离心率为． （1）求的标准方程； （2）设坐标原点为，点在上，点满足，且直线，的斜率之积为，证明：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 解：（1）因为椭圆：（）上的点到的两焦点的距离之和为6，所以，解得， 又的离心率为，所以，， 又，所以，所以的标准方程为； （2）法一：设，当直线的斜率不存在时，， 因为直线，的斜率之积为，所以，即， 又，在椭圆上，所以，． 因为，所以 ； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为（）， 联立方程得消去，得， ， 设，则，． 因为直线，的斜率之积为， 所以， 即，得，满足． 因为， 所以 ． 综上，为定值． 法二：设，，因为直线，的斜率之 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
