第2讲 数列的概念与简单表示法 一、知识导图 知识导入 观察下列示例，回答后面问题 (1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，. (2)－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，，，，，…. 问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？ 三、知识讲解 知识点1 数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点2 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的变 化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点3 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 例题解析 例1：已知数列，，，，，…，则5是它的( ) A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 【答案】C. 【解析】 数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…， 所以通项公式为an＝＝， 令＝5，得n＝21. 例2：在数列中，，求通项. 【答案】详见解析. 【解析】因为an＝an－1(n≥2)，所以当n≥2时，＝，所以＝，…，＝，＝， 以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··， 即＝·×2×1，所以an＝.当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符， 所以数列{an}的通项公式为an＝. 例3：在数列中，，求. 【答案】an＝2n＋1－3 【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2. 所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3. 例4：已知数列的通项公式为an＝n2－5n＋4，求n为何值时，an有最小值？并求出最小值． 【答案】n＝2或3时，an有最小值且为-2 【解析】∵an＝n2－5n＋4＝2－， ∴可知对称轴为n＝＝2.5. 又n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值， 其最小值为a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2. 例5：在数列中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？ (2)这个数列从第几项开始递增？ (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，所以当00时，n>， 故从第4项开始数列{an}递增． (3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36， 根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即数列中有最小值，最小值为－36. 五、课堂练习 A级 1.若Sn为数列的前n项和，且Sn＝，则等于( ) A. B. C. D.30 2.设数列的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( ) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 3. 已知数列的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项的和为Sn，则S2 020等于( ) A．504 B．588 C． D．－504 B级 4.已知数列中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{ ... ...
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