第5讲 数列综合 一、知识导图 二、知识导入 对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64 答案 比较两式易知，两式相减能消去相同项，解出S64，即S64＝＝264－1. 三、知识讲解 知识点1 数列通项公式 1.给出数列的前项和,求通项问题 2.累加法：形如，型递推式，求通项用累加法 因为，则将这个式子左右相加得 移项整理得，这种求数列通项的方法叫累加法（叠加法）. 3.累乘法：形如，型递推式，求通项用累乘法 因为，则，将这个式子左右相乘得 化简整理得，这种求数列通项的方法叫累乘法（叠乘法）. 4.构造法：形如，（）型递推式，求通项需构造新数列 设，展开移项得与原式比较系数可得 ，所以是首项为，公比为的等比数列，则 ，则. 知识点2 数列求和 1.分组求和法 如果一个数列由一个等差数列加一个等比数列或两个公比不等的等比数列相加组成，求和时用分组求和法。 设数列为等差数列，为公比不为1的等比数列，，则数列的前项和 2.倒序相加法： 将一个数列倒过来排列，当他与原数列相加时便于求和，则这样的数列可用倒序相加法求和，如：等差数列求和公式的推导 两式相加，结合等差数列的性质，则有 3.裂项求和法： 设数列满足，其中，（为非零常数，），则 我们把这种求数列前项和的方法叫做裂项求和法.（在高考的考题中，）. 特别的： ， 4.错位相减法 已知数列满足，其中为非零等差数列，为公比不等于1的等比数列，此时求数列的前项和，用乘公比错位相减法. 错位相减的方法背景：在等比数列中，公比为，设前项和为，则 ， 解出. 这种推导等比数列前项和的方法，叫做乘公比错位相减. 例题讲解 例1：在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为( ) A．2019 B．2020 C．2022 D．2021 【答案】D 【解析】因为an＝＝－， 所以Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 021. 例2： 已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 【答案】an＝2·3n－1. 【解析】由an＋1＝3an得＝3.因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3. 将上面的n－1个式子相乘可得···…·＝3n－1. 即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1， 又a1＝2，故an＝2·3n－1. 例3：已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，求{an}的通项公式． 【答案】an＝(3n－1)2n－2 【解析】当n≥2时，Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2. 两式相减，得an＋1＝4an－4an－1，将之变形为an＋1－2an＝2(an－2an－1)． 所以{an＋1－2an}是公比为2的等比数列． 又a1＋a2＝S2＝4a1＋2，a1＝1，得a2＝5，则a2－2a1＝3. 所以an＋1－2an＝3·2n－1.两边同除以2n＋1，得－＝， 所以是首项为＝，公差为的等差数列． 所以＝＋(n－1)＝n－，所以an＝(3n－1)2n－2. 例4：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋. (1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】见解析 【解析】(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋， 又bn＝， 所以bn＋1－bn＝， 由a1＝1，得b1＝1， 累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－， 所以bn＝2－. (2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn， 则Tn＝＋＋＋…＋ ①， Tn＝＋＋＋…＋ ②， ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，所以Tn＝4－. 易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)， 所以Sn＝n(n＋1)－4＋. 例5：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn. 【答案】见解析 【解析】(1)证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an， 所以＝＝＝＝2， 又b1＝a2－a1＝2－1 ... ...
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