专题08 利用空间向量空间距离的求解 新教材新增内容 背景分析: 投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法. 在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、二者的差，构成直角三角形，这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解. 运用向量运算求解空间距离的原理的推导主要是培养学生的逻辑推理素养，将空间距离的向量语言表述应用于立体几何问题则培养学生的直观想象、数学运算素养.通过对立体几何问题的解决，使得学生首先会用表达式、并通过练习实现学生达到熟练掌握运算方法、技巧的能力. 向量法求距离的公式 距离问题 图示 向量法的距离公式 两点间距离 点到直线的距离 两平行直线之间的距离 点到平面的距离 在处理距离问题时，投影向量和勾股定理的使用是关键． 新增内容的考查分析 1求点点距离 【考法示例1】 1. 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则A1C的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量运算可知，再利用平方后的数量积公式计算结果. 【详解】， 所以A1C＝. 故答案为： 2.求点线距离 【考法示例1】 2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先求夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)． ∴cosθ＝＝.∴sinθ＝. 故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×. 故答案为B 【点睛】本题主要考查点到线距离的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 【考法示例2】 3. 如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，由已知可得，即可求出. 【详解】解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示． 因为， 所以， 所以. 即P点到直线AB的距离为. 故答案为：. 【考法示例3】 4. 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】 【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝. 视频 3.求点面的距离 【考法示例1】 5. 在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系，通过点面距离公式，计算点到平面的距离. 【详解】以为空间直角坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系.由于是中点，故，且，设是平面的法向量，故，故可设，故到平面的距离.故选A. 【点睛】本小题主要考查利用空间向量计算点到面的距离.计算过程中要先求得平面的法向量.属于基础题. 【考法示例2】 6. 已知四边形是边长为4的正方形，分别是边的中点，垂直于正方形所在平面，且，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 连接，交于，交于，过作，垂足为，则问题转化为求的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果. 【详解】如图：连接，交于，交于， 因为分别是边的中点，所以， 因为平面，所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，所以，又，， 所以平面，因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过作，垂足为，则平面，则为点到平面的距离， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
