课时知能训练 一、选择题 1．(2012·中山模拟)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3， (cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 【解析】 观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，… 由归纳推理知偶函数的导函数为奇函数， ∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数， 又f′(x)＝g(x)， ∴g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)． 【答案】 D 2．(2011·重庆高考)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为( ) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x 【解析】 ∵y′＝(－x3＋3x2)′＝－3x2＋6x ∴k＝y′|x＝1＝－3＋6＝3， 因此在点(1,2)处的切线为y＝3x－1. 【答案】 A 3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( ) A．e2 B．e C. D．ln 2 【解析】 ∵f(x)＝x·ln x， ∴f′(x)＝ln x＋1， 则f′(x0)＝ln x0＋1＝2， ∴ln x0＝1，x0＝e. 【答案】 B 4．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( ) A．4 B．－ C．2 D．－ 【解析】 ∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2. 又f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 故y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率为4. 【答案】 A 5．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) 【解析】 y′＝()′＝＝， ∵ex＋e－x≥2，∴y′≥＝－1， 由导数的几何意义，tan α≥－1，且y′＜0，即tan α∈[－1,0)， 又倾斜角α∈[0，π)， ∴≤α＜π. 【答案】 D 二、填空题 6．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_____． 【解析】 ∵y′＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋x·ex＋2 ∴y′|x＝0＝3. ∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0. 【答案】 3x－y＋1＝0 7．已知函数f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f()＝_____. 【解析】 f′(x)＝f′()cos x－sin x， 令x＝，则f′()＝－sin ＝－1， ∴f(x)＝－sin x＋cos x， ∴f()＝－sin ＋cos ＝0. 【答案】 0 8．(2012·扬州模拟)若函数f(x)＝－eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则点P(a，b)与圆C的位置关系是_____． 【解析】 因为f(x)＝－eax，所以f′(x)＝－eax. 所以切线在x＝0处的斜率k＝f′(x)|x＝0＝－， 所以x＝0处的切线l的方程为y－(－)＝－x， 即ax＋by＋1＝0. 又l与圆C：x2＋y2＝1相离， 所以＞1，即a2＋b2＜1. 所以点P(a，b)在圆C内． 【答案】 点P(a，b)在圆C内 三、解答题 9．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，试求实数a的取值范围． 【解】 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 又f(x)存在垂直于y轴的切线，不妨设切点为P(x0，y0)，其中x0＞0. 则f′(x0)＝2ax0＋＝0. ∴a＝－，x0∈(0，＋∞)，因此a＜0. ∴实数a的取值范围是(－∞，0)． 10．设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限，求切线方程． 【解】 设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，① y1＝－x＋x1－4， ② ①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0. ∵P为切点， ∴Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝. 当k＝时，x1＝－2，y1＝－17. 当k＝时，x1＝2，y1＝1. ∵P在第一象限， ∴所求的斜率k＝. 故所求切线方程为y＝x. 11．已知函数f(x)＝x2＋bln x和g(x)＝的图象在x＝4处的切线互相平行． (1)求b的值； (2)求f(x)的极值． 【解】 (1)对两个函数分别求导，得 f′(x)＝2x＋，g′(x)＝＝. 依题意，有f′(4)＝g′(4)， ∴8＋＝6，∴b＝－8. (2)显然f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知b＝－8， ∴f′(x)＝ ... ...
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