2021-2022学年高中数学新人教A版必修2 第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率 学案

3.1　直线的倾斜角与斜率 3.1.1　倾斜角与斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养． 1．倾斜角的相关概念 (1)两个前提： ①直线l与x轴相交； ②一个标准：取x轴作为基准，x轴 与直线l 方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用： ①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； ②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． 2．斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的 ． (2)记法：k＝ ． (3)斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝ 90°＜α＜180° 斜率(范围) 不存在 (4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝ ． 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ 1．如图所示，直线l与y轴所成的角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45°　　　B．135°　　　C．0°　　　D．无法计算 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　) A.0° B．45° C．60° D．90° 3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　) A.5 B．8 C． D．7 4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A. B． C.1 D． 直线的倾斜角 【例1】　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A.α　　　　　　 B．180°－α C.180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 直线的斜率 【例2】　(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A.(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C.(2，0) D．(0，－8) (2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A.(－1，0] B．[0，1] C.[1，2] D．[0，2] 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解． 2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝_____． (2)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为_____． 直线倾斜角与斜率的综合 [探究问题] 1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？ 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？ 【例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 将本例变为： 已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围． 1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范 ... ...