2021-2022学年高中数学新人教A版必修2 第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系 学案

4.2　直线、圆的位置关系 4.2.1　直线与圆的位置关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养． 1．直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]�———�几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． 1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A.相交　 B．相切 C.相离 D．无法判断 B　[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.] 2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A.1 B． C. D．2 D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.] 3．圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为_____． x2＋y2＝2　[圆的半径就是原点到直线x＋y－2＝0的距离， ∴r＝d＝＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2＝2.] 4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于_____． 4　[由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.] 直线与圆的位置关系 【例1】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， (1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2时，即－1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ① ... ...