2021-2022学年高中数学新人教A版必修2 第四章圆与方程4.2.3直线与圆的方程的应用 学案

4.2.3　直线与圆的方程的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解直线与圆的位置关系的几何性质．(重点)2．会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题．(重点、难点)3．会用数形结合的数学思想解决问题． 通过学习直线与圆的方程的应用，提升数学建模、直观想象、数学运算的数学学科素养． 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲” 1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A. x2＋y2＝25 B. x2＋y2＝25(y≥0) C. (x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D. 随建立直角坐标系的变化而变化 D　[在不同坐标系下，方程也不同．] 2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　) A.4　　　B．3　　　C．2　　　D．1 C　[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.] 3．已知点A(3，0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是_____． 5, 1　[圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.] 直线与圆的方程的实际应用问题 [探究问题] 1．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？ [提示]　从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2. 2．已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间． [提示]　如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系． 射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动． 则点B到AC的距离为20千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2＝20(千米). 所以B城市处于危险区内的时间为t＝＝1(小时). 【例1】　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离． 思路探究：→ → [解]　以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1. 因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8. 当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1)km. 即DE的最短距离为(4－1)km. 求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤 (1)认真审题，明确题意． (2)建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程． (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题． (4)把代数结果还原为实际问题的解释． 1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为 _____ m. 2　[如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将点A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10， ∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)， 将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m).] 坐标法证明几何问题 【例2】　如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB ... ...