中小学教育资源及组卷应用平台 第13讲-恒成立、存在性问题（原卷版） 学习目标： 掌握数形结合、分离变量两种常见的方法，会将难题进行等价划归 教学内容 1．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是 ． 2．函数与的图象有个交点，其坐标依次为，，，，，，，则 ． 3．已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数的取值范围是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) 知识点一：简单分离变量型 知识梳理 1.若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上, 函数 2.若不等式在区间上恒成立,则等价于:在区间上, 函数 例题精讲 例1. 设函数． （1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围； （2）对于，，恒成立，求的取值范围． 例2. 设函数，对任意，，恒成立，则实数的取 值范围是 ． 例3. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称 是上的有界函数，其中称为函数的上界．举例：，，，则对任意， ，根据上述定义，在，上为有界函数，上界可取3，5等等． 已知函数，． （1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由； （2）求函数在，上的上界的取值范围； （3）若函数在，上是以3为上界的函数，求实数的取值范围． 巩固练习 1.已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两 个实根、称为的特征根． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）把函数，，的最大值记作、最小值记作， 令，若恒成立，求的取值范围． 知识点二：简单数形结合型 知识梳理 1、对任意的恒成立的图像恒在的上方 2、给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图象（线段）可得上述结论等价于 ⅰ），或 ⅱ） 可合并定成 3、对于二次函数在实数集上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 恒成立；恒成立. 例题精讲 例1. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 例2. 设，，，，若，则实 数的取值范围是 ． 例3. 设，若时，均有，则 ． 例4.已知：当时，不等式恒成立，当且仅当时取等号，则 ． 巩固练习 1.若对定义域内任意，都有为正常数），则称函数为“距”增函数．若，是“距”增函数，则的取值范围是 ．2·1·c·n·j·y 2.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为 ． 知识点三：多自变量型：分离变量、数形结合 知识梳理 对函数和，定义域分别为和，对任意/存在，对任意/存在，，等价于： 例题精讲 例1. 已知函数，，若对任意，，总存在，，使得，则实数的取值范围是 ． 例2.已知函数，，，若对定义域内任意实数，，，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．21世纪教育网版权所有 例3.当和取遍所有实数时，，恒成立，则的最大值为 ． 例4.不等式对满足的任意实数，恒成立，则实数的最大值是 ． 例5.已知函数，若对于任意的正整数，在区间，上存在个实数、、、，使得成立，则的最大值为 ．21·cn·jy·com 巩固练习 1. 设，，，若对任意的正实数，，都存在以，，为三边长的三角形，则实数的取值范围是 ． 2.已知函数和函数，其中为参数，且满足．若对任意，，存在，，使得成立，则实数的取值范围为 ．21·世纪*教育网 知识点四：等价划归型 例题精讲 例1. 已知是偶函数，且在，上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 例2.若定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点，与点，都关于点，对称，则称是关于的“对称函数”．已知，，是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是 ． 例3.已知函数，，若实数同时满足下列条件： ①对，或； ②，使得． 则实数的取值范围是 ． 例4.已知函数，若 ... ...
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