5.3.2函数的极值与最大（小）值 第一课时（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第一课时 教学设计 一、教学目标 1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值； 3. 体会导数与单调性、极值的关系. 二、教学重难点 1. 教学重点 求函数极值. 2. 教学难点 函数极值与导数的关系. 三、教学过程 （一）新课导入 观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 图（1） （二）探索新知 放大附近函数的图象，如图（2）.可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有. 图（1） 图（2） 对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？ 探究：如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？ 以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧. 我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 例1 求函数的极值. 解：因为，所以. 令，解得或. 当x变化时，，的变化情况如表所示. x 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为. 思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 一般地，可按如下方法求函数的极值： 解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值. （三）课堂练习 1.函数的极值点为( ) A.0，1，-1 B. C. D.， 答案：B 解析：由已知，得的定义域为，.令，得（舍去）.当时，；当时，.所以当时，取得极小值.故的极小值点为，无极大值点，故选B. 2.函数在上( ) A.有极小值 B.有极大值 C.既有极小值又有极大值 D.无极值 答案：A 解析：，由，得.由，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上有极小值，无极大值.故选A. 3.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数有( ) A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 答案：C 解析：由图可知导函数有三个零点，依次设为，当时，，当时，，所以函数在处取得极小值；当时，，当时，，所以函数在处无极值；当时，，所以函数在处取得极大值，故选C. 4.已知函数在区间上存在极值，则实数a的取值范围是_____. 答案： 解析：，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数的极大值点.又函数在区间上存在极值，所以，解得，即实数a的取值范围是. 5.求下列函数的极值： （1）； （2）. 答案：（1）. 令，解得，. 当x变化时，，的变化情况如下表： x -2 2 - 0 + 0 - 单调递减 -10 单调递增 22 单调递减 由上表看出，当时，取得极小值，为； 当时，取得极大值，为. （2）. 令，解得，. 当x变化时，，的变化情况如下表： x -1 1 - 0 + 0 - 单调递减 -3 单调 ... ...