中小学教育资源及组卷应用平台 突破1.4 空间向量的应用 一、考情分析 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理. 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系. 5.用向量语言表示点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题 6.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题 二、经验分享 （一）空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图. 2.空间直线的向量表示式 如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta, ① 或+t. ② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 3.空间平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 4.平面的法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}. （二）、空间中直线、平面平行的向量表示 位置关系 向量表示 线线平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R,使得μ1=λμ2. 线面平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α μ⊥n μ·n=0. 面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2. 点睛： 1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点. （三）、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=. 2.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题. （四）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=. （五）、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离 1.利用向量方法求两异面直线所成角 若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a,b,则有cos θ=|cos
|= . 特别提醒： 不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两异面直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 2.利用向量方法求直线与平面所成角 若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向 ... ... 