中小学教育资源及组卷应用平台 专题七 概率与统计 08 独立重复试验与二项分布、超几何分布和正态分布 考纲对本模块内容的具体要求如下： 二项分布与超几何分布、正态分布是高考 出题的知识点之一，其中二项分布和超几何分布是离散型随机变量分布列，正态分布是连续型随机变量分布列，主要考查对分布列的认识和理解，在选择、填空中主要考正态分布，解答题中二项分布和超几何分布的比较多一些. 1.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.【出处：21教育名师】 (2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,1是否为n次独立重复试验；,2随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.21教育名师原创作品 2. 超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰 有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即 X 0 1 … m P … 其中m= min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．【来源：21·世纪·教育·网】 (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4. 考点一 独立重复试验与二项分布 （1）（2021·福建龙岩市·上杭一中高三开学考试）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用二项分布的概率计算公式即可求解. 【详解】 由题意可知五场中获胜的场次， 所求选手能参加决赛的概率. 故选：D （2）（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X～B，则P(X＝2)等于（ ） A．2×3 B．2×3 C．×2×3 D． ×2×3 【答案】D 【分析】 由二项分布的概率公式，即得解 【详解】 ∵随机变量X～B，由二项分布的概率公式 ∴P(X＝2)＝ 故选：D （3）（2021·全国·高二课时练习）若X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是（ ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】B 【分析】 求使取最大值的的值可通过比较和的大小得到．可利用做商法比较大小，从而可得出答案. 【详解】 解：， 则，得， 所以当时，， 当时，， 从而时，取得最大值． 故选：B． （4）（2021·全国·高二课时练习）张明从家坐公交车到学校的途中，会通过3个有红绿灯的十字路口，假设在每个十字路口遇到红灯的概率均为0.25，而且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．设 为张明在途中遇到的红灯数，求随机变量X的分布列． 【答案】见解析 【分析】 利用二项分布直接求解 【详解】 由题意随机变量X ， ， 故分布列为： 0 ... ...
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