清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题2（word版含答案）

清北学堂第37届全国中学生物理竞赛决赛模拟试题2 180分钟 320分 可能用到的数学公式和物理常数 1.对于，有： 2.，这里 3.重力加速度为 4. 5.真空介电常数： ，真空磁导率 （50分）滚动的圆柱体 如下图所示，一薄壁圆柱体半径为，质量均匀地分布在表面上，内部充满了无粘性的液体（超流体），筒壁和内部所充的液体的质量均为，圆柱体放置在粗糙的斜面上（摩擦因数为），斜面的质量也为，与水平面呈角。斜面放置在水平的地面上，已知重力加速度为，斜面和地面的摩擦因数为。 1.求圆筒在释放瞬间的角加速度和加速度 2.将讨论的结果作在的图上（取斜面的夹角为，解答时需要标注分界位置） 题图 1 （40分）洲际导弹 我们发射一枚洲际导弹，设导弹的发射速率（相对地球）为，与地面呈角，考虑到重力加速度的改变。已知地球的半径为，地表的重力加速度为，不用考虑地球的自转。为简化计算，特引入无量纲参量 1.求出洲际导弹的射程，并求其最大值 2.求出洲际导弹在空中飞行的时间 （50分）库仑定律的探究 1.如果点电荷之间的作用力和距离的关系不是平方反比，而是加入小的修正项，其余与库仑定律相同，试求出带点球面内外的点的电势，假设该球面具有半径为和均匀的面电荷密度 2.麦克斯韦曾经在卡文迪许的工作基础上用以下实验来测量的值（赵凯华电磁学上有麦克斯韦曾经在卡文迪许的工作基础上用以下实验来测量的值（赵凯华电磁学上有讲过）：将半径为的两个导体球（大于）同心放置，并利用细导线将两个球壳相连，将外球壳充电至电势后，撤去电源，再撤去连接两个球壳的细导线，然后将外球壳接地，此时测得内球壳的电势不大于，计算的值（接地和无穷远无差别，保留到一阶） 四、（40分）冰冻星球 考虑一个在太空中表面被冰雪覆盖的星球，其地壳的分层为（为方便起见）：地幔和核心区（具有半径），冰层（具有内半径和外半径）。已知其核心会以总功率产生热能（均匀地分布在内层中），地幔和核心区具有平均的热传导系数，冰层的热传导系数为，并且冰的黑体辐射的能流反射系数为，试求出：（假设背景辐射可略） 1.平衡状态下冰冻星球的温度分布 2.若其绕着一恒星作圆周运动，恒星可以视作绝对的黑体，表面温度为，半径为，试求出冰冻星球平衡状态下的温度分布，设该星球的轨道半径为 五、（50分）光镊———波长远大于物体尺寸的情况 光镊，也被称作光钳、光学镊子（optical tweezers）是一种通过高度聚焦的激光束来产生力以运动微小透光物体的装置，相应的技术也被称为光学捕捉。光镊和光学捕捉技术可以用来移动细胞和病毒颗粒，将细胞捏成各种形状或者冷却原子（光阱）。光镊以其作用力的精准性能够直接作用于细胞和更小的目标，因此在生物学方面的作用十分广泛。发明光镊的Arthur Ashkin于2018年获得诺贝尔物理学奖。众所周知，激光是一个高斯光束（截面上的光强满足高斯分布），其光强的最大值来自于高斯光束的束腰。如果将高斯光束通过显微镜的物镜进行聚焦，会在最窄的部分（束腰）存在一个非常强的电场梯度，在外电场下，小物体会引起极化作用，并在外电场下受到一个梯度力。 通过严格的数学推导，我们知道一个被极化的物体（电偶极矩为，为极化率），其受到的平均作用力为： 除此以外，电磁波还会对于介质球有一个推力，在瑞丽近似下（假设电磁波沿着方向传播）： 这里，光强的空间分布为（代表了平面内的向量）： 这里： 所以真实的情况为，我们的光镊所抓取的物体的具体位置并不在最窄的地方（即使忽略了重力的作用），需要考虑推力，回复力等作用力的共同作用。考虑运用光镊操纵密度为，半径为，放置在液体密度为的试剂中的实验小球（小球的介电常数为）试求出： 题图 2 1.小球的（忽略液体的极化） 2.对于实验中使用的激光束 ... ...