第4章幂函数、指数函数和对数函数 4.4 函数与方程 4.4.2 计算函数零点的二分法 课后篇巩固提升 必备知识基础练 1.已知f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解落在区间( ) A.[1,1.25] B.[1.25,1.5] C.[1.5,2] D.不能确定 答案B 解析∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0, ∴f(1.25)f(1.5)<0, 因此方程的解落在区间[1.25,1.5]内,故选B. 2.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)= 0.625 f(1.25)= -0.984 f(1.375)= -0.260 f(1.437 5)= 0.162 f(1.406 25)= -0.054 那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(误差不超过0.02)为( ) A.1.437 5 B.1.375 C.1.25 D.1.422 答案D 解析由表格中参考数据可得f(1.437 50)>0,f(1.406 25)<0,又因为题中要求误差不超过0.02,所以方程的近似解为1.422,故选D. 3.(多选题)下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的说法错误的是( ) A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点 B.若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值 C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似值 答案BCD 解析x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点,所以A正确;例如f(x)=x2,不可以用二分法求零点,所以B错误;方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,所以C错误;用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,所以D错误.故选BCD. 4.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数解,取区间中点x0=2.5,那么下一个有解区间为 . 答案[2,2.5] 解析因为f(2)<0,f(2.5)>0,f(3)>0, 所以f(2)f(2.5)<0,f(2.5)f(3)>0. 所以下一个有解区间应为[2,2.5]. 5.下表是连续函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值: x 1 1.25 1.375 1.5 2 f(x) -2 -0.984 -0.260 0.625 6 由此可判断,方程f(x)=0的一个近似解为 (误差不超过0.1). 答案1.437 5 解析由题中表格对应的数值可得,方程的近似解为1.437 5. 6.已知函数f(x)=ln x+2x-6. (1)证明:f(x)有且只有一个零点; (2)求这个零点所在的一个区间,使这个区间的长度不大于. (1)证明令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=ln+2(x1-x2),且>1,x1-x2>0. ∴f(x1)>f(x2), 即f(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)至多有一个零点. 又f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0, ∴f(2)·f(3)<0, 即f(x)在(2,3)内有一个零点. ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. (2)解∵f(2)<0,f(3)>0,取x1=,f=ln-1<0, ∴f(3)f<0,即f(x)零点x0∈,3. 取x2=,则f=ln>0.∴ff<0. ∴x0∈. 又=, ∴满足题意的区间为. 关键能力提升练 7.(2020江西南昌校级月考)用二分法求函数f(x)=ln(x+1)+x-1在区间[0,2]上的零点,要求误差不超过0.01时,计算中点函数值的次数最少为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案B 解析根据题意,原来区间[0,2]的长度等于2,每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,则经过n次操作后,区间的长度为,依题意得<0.02,所以2n>100,所以n>log2100.因为6=log264ln 2-ln =ln 2-ln 2=0, f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln-ln e2<(ln 4-2)=0,所以下一个有解区间为[1.5,2].故选D. 9.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是( ) A.f B.f(2) C.f(1) D.f 答案BD 解析由二分法的步骤可知:①零点在区间(0,4)内,则有f(0)·f(4 ... ...
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