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课件网) 4.2一次函数与正比例函数 2021-2022学年八年级数学上册同步（北师版） 第四章 一次函数 1.理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 2.能根据所给条件，写出简单的一次函数、正比例函数表达式。 学习目标 导入新课 什么叫函数 函数的表达方式有哪些？ 在某个变化过程中，有两个变量x 和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 函数有图象、表格、关系式三种表达方式. 一次函数与正比例函数 x/kg 1 2 3 4 5 … y/cm … （1）计算所挂物体的质量分别为1 kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时弹簧的长度，并填入下表： 3.5 4 4.5 5 5.5 （2）你能写出y与x之间的关系式吗？ 某弹簧的自然长度为3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm. 问题1 解：y与x之间的关系式为：y=3+0.5x. 分析： 它们之间的数量关系是: 弹簧长度=原长+增加的长度 探究新知 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L. （1）完成下表： 0 6 12 18 24 36 （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ （3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ y=0.12x z = 60-0.12x 问题2 探究新知 研讨以下两个函数关系式: (1)y=0.5x+3. (2)y=-0.12x+60. 它们的结构有什么特点？ 解析:1．都是含有两个变量x，y的等式. 2．x和y的指数都是一次. 3．自变量x的系数都不为0. 探究新知 若两个变量 x，y间的对应关系可以表示成y=kx+b (k, b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0） 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0） 定义： 探究新知 思考： 一次函数的结构特征有哪些？ （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数. 一次函数 正比例函数 答：一次函数的结构特征： 探究新知 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx; (6)y＝8x2＋x(1－8x) 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． （7）不是一次函数，也不是正比例函数 练一练 （7）y=kx+b 方法总结 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 例题讲解 解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而 y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 例题讲解 例2：已知函数y=（k+1）x+（k2-1） ①当k取什么值时，y是x的一次函数？ ②当k取什么值时，y是x的正比例函数？ 解： ①由已知得 k+1≠0 ∴k≠-1 故当k≠-1时，y是x的一次函数. ②由已知得 故当k=1时，y是x的正比例函数. k+1≠0 ① k2-1=0 ... ...
