3.1.3 空间向量的数量积运算 题组训练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1第三章（含答案）

3.1.3　空间向量的数量积运算 基础过关练 题组一　空间向量数量积的概念及运算 1.设a,b,c是任意的非零空间向量,且它们互不共线,下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|=;③a2b=b2a;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有(　　) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC一定是(　　) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 3.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,计算: (1)·;(2)·;(3)·. 题组二　空间向量的夹角 4.在正四面体ABCD中,与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.已知a,b是两异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为(　　) A.30° B.60° C.90° D.45° 6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1与BM所成的角的大小是　　　　. 7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,E为CC1上的点,且CE=1,求异面直线AB1,BE所成角的余弦值. 题组三　求长度或距离 8.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间的夹角都是60°,则AC1的长为(　　) A.6 B. C.3 D. 9.如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC=(　　) A.3 B.7 C.4 D.6 10.如图所示,在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A,B,AC,BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为　　　　. 题组四　空间向量的垂直 11.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R,且λ,μ≠0),则(　　) A.m∥n B.m⊥n C.m不平行于n,m也不垂直于n D.以上三种情况都有可能 12.已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,且m=2e1+3e2,n=ke1-4e2,m⊥n,则实数k的值为(　　) A.-6 B.6 C.3 D.-3 能力提升练 一、选择题 1.(广东潮州高二期末,★★)设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2.(北京东城高二上学期期末,★★)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题: ①(++)2=3; ②·(-)=0; ③与的夹角为60°. 其中正确命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 3.(★★)如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(　　) A. B. C.1 D. 4.(★★)已知在正四面体DABC中,所有棱长都为1,△ABC的重心为G,则DG的长为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 5.(福建福州协作校高二期末联考,★★)在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则·=　　　　. 6.(2018辽宁重点高中协作校期末,★★)已知四面体PABC中,∠PAB=∠BAC=∠PAC=60°,||=1,||=2,||=3,则|++|=　　　. 7.(广西玉林高二期末,★★★)如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3,若·+·=7,则与的夹角的余弦值等于　　　　. 三、解答题 8.(河北正定中学高二月考,★★)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1. (1)求<,>的余弦值; (2)求证:⊥. 9.(宁夏银川一中高二期中,★★)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长度都为1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,设=a,=b,=c.计算: (1)·;(2)||. 答案全解全析 基础过关练 1.D　由于数量积不满足结合律,故①不正确;由数量积的性质知②正确;③中,可化为|a|2b=|b|2a,因为a,b不共线,所以该式一定不成立;④中运算正确. 2.B　因为+-2=(-)+(-)=+, 所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0, 所以||=||,因此△ABC是等腰三角形. 无法判断是不是等边三角形或等腰直角三角形. 3.解析　如图所示,设=a,=b,=c, 则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)·=·(+) ... ...