中小学教育资源及组卷应用平台 专题八 平面解析几何 05 椭圆 考纲对本模块内容的具体要求如下： 椭圆的标准方程及其几何性质是高考必考重点之一，对于椭圆知识的考察主要是椭圆的定义及标准方程，椭圆的几何性质，其中椭圆的几何性质考察主要是离心率问题.椭圆的另一个考察重点是与直线等等相结合的问题，主要涉及方程组联立，根的判别式，根与系数的关系，弦长等等问题.在出题上选择、填空、都有可能涉及，必考解答题，其中多以压轴题出现. 数学运算：1.利用直线与椭圆的位置关系解决弦长、中点弦等问题. 2.椭圆离心率对椭圆形状的影响. 3.椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程. 逻辑推理：灵活运用椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系解决问题. 数学建模：利用椭圆的几何性质解决问题. 1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：_____；对称中心：_____ 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 e＝_____，且e∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 [常用结论] 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内 ＋＜1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上 ＋＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外 ＋＞1. 2．焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： (1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)a－c≤|PF1|≤a＋c. 3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2. 4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a. 5．椭圆中点弦的斜率公式 若M(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－，即kAB＝－. 6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2|＝(k为直线斜率)． 考点一 椭圆的定义及其应用 （1）（2021·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，为坐标原点，点在椭圆上，且，则的面积（ ） A． B． C． D． （2）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【规律方法】 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|. 【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二月考）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D．或 (2)（2021·天津·耀华中学高二期中）已知曲线，关于曲线的四个结论： ①若曲线表示双曲线，则；②曲线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上； ③若曲线表示椭圆，则；④曲线可能表示圆. 其中所有正确的编号为（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 考点二 椭圆的标准方程 （1）（2021·全国·高二月考）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的标准方程为（ ... ...
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