2022届高三数学一轮复习专题讲义30：导数的高级应用：利用导数解决恒成立问题（Word含答案解析）

专题30：导数的高级应用：利用导数解决恒成立问题（提优卷） 解题技巧熔炉： 恒成立问题 对导数的应用的考察注意的角度 解决“隐零点”问题 函数不等式恒成立遵循原则 利用导数证明不等式技巧 导函数中常用转化方法 恒成立问题 ①参变分离，转化为不含参数的最值问题； ②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值； ③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）. 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 解决“隐零点”问题（零点大小确定的叫“显零点”）的策略可考虑“函数零点存在定理”、“构造函数”、利用“函数方程思想”转化等，从操作步骤看，可遵循如下处理方法： 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围； 以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键； 将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征） 求解函数不等式恒（能）成立，可令，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 题型分析： 一、利用导数题解决恒成立问题 1．（2021·四川资阳·高三月考（理））若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·福建宁德·高三期中）当时，恒成立，则整数的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高三课时练习）已知，若，且对任意恒成立，则k的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2021·全国·高三期中）已知函数下列说法正确的是（ ） A．对于都存在零点 B．若恒成立，则正实数a的最小值为 C．若图像与直线分别交于A，B两点，则的最小值为 D．存在直线与的图像分别交于A，B两点，使得在A处的切线与在B处的切线平行 5．（2021·黑龙江·高三期中（文））已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围_____. 6．（2021·河南·高三月考（理））若关于的不等式对于任意恒成立.则实数的取值范围是_____. 7．（2021·福建上杭·高三月考）已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0，1]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1]，使得x1+1+﹣a=0成立，则实数a的取值范围是_____. 8．（2021·全国·高三期中）设函数． （1）若，为函数的两个极值点，且，求实数的值； （2）设函数在点（为非零常数）处的切线为，若 ... ...