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课件网) 第12章 证明 12.3互逆命题 两直线平行，同位角相等． 条件 结论 同位角相等，两直线平行． 条件 结论 【问题情境1】 如果 a＋b＞0 ，那么 a＞0，b＞0 如果 a ＞0，b ＞0 ，那么 a＋b＞0 【问题情境1】 条件 结论 条件 结论 两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题是另一个命题的逆命题. 1．下列各组命题是否是互逆命题： （1）“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形是正方形”； （2）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； （3）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”； （4）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行” ． 【试一试】 2 ．说出下列命题的逆命题，并与同学交流． （1）如果a2＝b2，那么a＝b； （2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角； （3）末位数字是5的数，能被5整除； （4）锐角与钝角互为补角. 【试一试】 逆命题：如果a＝b，那么a2＝b2 . 逆命题：如果两个角的平分线组成一个平角，那么这两个角是对顶角. 逆命题：能被5整除的数的末位数字是5． 逆命题：互为补角的两个角一个是锐角一个是钝角． 在你已经学习过的命题中，举出两个命题，它们不仅是逆命题，而且都是真命题． 如图： （1）如果AD∥EF，那么可以得到什么结论？ （2）如果∠EFC＋∠C＝180°，那么可以得到什么结论呢？ （3）证明AD∥EF，需要什么条件？证明EF∥BC 呢？ （4）证明AD∥EF∥BC，需要什么条件？ D C B F E A 命题的证明 图形特殊的“位置关系”常常决定了图形具有特殊的“数量关系”； 反过来，图形特殊的“数量关系”常常决定了图形具有特殊的“位置关系”． 例1 证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：如图，直线a、b、c 中，b∥a， c∥a． 求证：b∥c ． a b c 证明：作直线a、b、c的截线d． ∵b∥a (已知)， ∴∠2＝∠1 (两直线平行，同位角相等)， ∵c∥a (已知)， ∴∠3＝∠1 (两直线平行，同位角相等)， ∴∠2＝∠3 (等量代换)， ∴b∥c (同位角相等，两直线平行)． d 1 2 3 例2 证明：直角三角形的两个锐角互余． 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°， 求证：∠A＋∠B＝90°． 证明：在△ABC 中， ∠A＋∠B＋∠C ＝180° （三角形三个内角的和等于180°）， ∴∠A ＋∠B ＝ 180°－ ∠C（等式性质)， ∵ ∠C ＝ 90°(已知)， ∴∠A ＋∠B ＝ 180°－ 90°（等量代换)， ∴ ∠A ＋∠B ＝ 90°． A B C 说出命题“直角三角形的两个锐角互余”的 逆命题．这个命题是真命题吗？为什么？ 构造一个命题的逆命题，并证明这个命题是真命题，我们就能探索并获得一些新的数学结论． 这是一种逆向思考研究问题的方法． 【练习】 1． (1)如图，AB∥CD，AB、DE 相交于点G， ∠B＝∠D． 在下列括号内填写推理的依据： ∵AB∥CD (已知)， ∴∠EGA ＝∠D ( )． 又∵∠B ＝∠D (已知)， ∴∠EGA ＝∠B( )， ∴DE∥BF ( )． (2)上述推理中，应用了哪两个互逆的真命题？ C D A B E G F 2.（1）已知：如图，在直角三角形ABC 中∠ACB ＝ 90°，D 是AB 上一点，且∠ACD ＝∠B ．求证：CD⊥AB． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ A B C D 【小结】 通过今天的学习，你有哪些收获与体会，说出来和同学们分享． 【课后作业】 思考题（选做） （1）已知：如图，在△ABC 中，点E 在AC上， 点F 在BC上，点D、G 在AB上，FG∥CD ... ...
