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课件网) 2.3.1 双曲线及其标准方程 历史回顾 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections)。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 椭圆 双曲线 抛物线 举出生活中的抛物线 一、问题引入 1.研究函数图像：xy=1 2.观察图中实物形状， 感受双曲线美 二、新知讲授 1.双曲线的定义 思考？ 与两个定点距离之差为非零常数的点的轨迹是什么？ 通过拉链模型给出双曲线定义： 我们把平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程 从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程 ②，以方程②的解(x、y)为坐标的点到双曲线的两个焦点F1(-c,0),F2(c，0)的距离之差的绝对值为2a、即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上。由曲线与方程的关系可知，方程②是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别是 F1(-c，0) F2(c，0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 思考？ 类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，如图所示，双曲线的焦点分别是F(0，c)，F(0、c), a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程是什么 此时双曲线的方程是 - 这个方程也是双曲线的标准方程。 3.例题选讲： 例1已知双曲线两个焦点分别为F1(-5，0)， F2(5，0)，双曲线上一点P到F1. F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程 解:因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 因为2a=6，2c=10所以a=3c=5所以把b2=52-32=16.因此，双曲线的标准方程为 例2 已知A,B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速 为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。 分析:首先根据题意，判断轨迹的形状由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值这样，爆炸点在以AB为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上。 解:如图建立直角坐标系x.0y，使A.B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合。 设爆炸点P的坐标为(x,y)则 |PAl-|PB=340x2=680, 即2a=680a=340. |AB|=800. 所以 2c=800.c=400, b2=44400. 因为|PA|-|PB|=340x2=680>0，所以x>0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为 利用两个不同的观测点AB测得同一点P发出信号的时间差，可以确定点P所在双曲线的方程。如果再增设一个观测点C利用BC(或AC) ... ...
