2.3 垂径定理 课件（共23张PPT）+教案

中小学教育资源及组卷应用平台 2.3垂径定理教案 主备人： 审核人： 本章课时序号：5 课 题 垂径定理 课型 新授课 教学目标 1. 通过猜测、证明，理解和掌握垂径定理； 2. 能利用垂径定理，结合三角形、四边形知识解答问题； 3. 切实提高综合分析、逻辑推理能力，激发学生学习潜能. 教学重点 1. 证明和理解垂径定理； 2. 垂径定理的综合应用. 教学难点 1. 证明垂径定理； 2. 构建直角三角形，利用垂径定理求圆的半径或圆心到到弦的距离. 教 学 活 动 一、情景导入 1、 做一做，说一说： （1）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB与AC的差是2，求AB的长. （2）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠C=60°，BC=6，求 AB的长. 学生口述解答方法，然后回答： （1）什么是勾股定理吗？ （2）我们学过哪三种锐角三角函数？ 2、 找一找，议一议： 如图，在⊙O中，A，B，C，D是圆上的点。CD经过圆心O，交AB于点E。 (1)说出⊙O中的直径、半径和弦； (2)说出⊙O中的等腰三角形； (3)CD把AB所对的弧各分成了哪几条弧？ (4)CD平分AB吗？平分AB所对的弧吗？ 二、教学新知 1、 探究问题，发现结论 如图，在⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E.试问：AE与BE， 与，与分别相等吗？ 师生讨论，PPT展示： 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图，我们发现AE与BE重合，，分别与，重合，即AE=BE，=，=. 2、 证明结论，得出定理 （1）启发：由已知CD⊥AB，要证AE与BE，你能想到添加辅助线作一个怎样的三角形来证明？ 生：连接OA，OB，得等腰三角形来证明。 （2）讲解证明过程 (PPT)证明: 连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵ OE⊥AB， ∴ AE=BE， ∠AOD=∠BOD. 从而 ∠AOC=∠BOC. ∴ =，=. （3）归纳结论 【PPT】由此得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 三、例题讲解 （一）教学例1 例1 如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长. 1、 分析：①根据垂径定理求出AE； ②连接半径OA，设半径长为rcm，利用勾股定理求出r即可求出直径CD的长。 2、 证明：连接OA. 设OA=rcm，则OE=r-2(cm) ∵ CD⊥AB， 由垂径定理得， AE==4(cm). 在Rt△AEO中，由勾股定理得 OA =OE +AE ， 即r =(r-2) +4 . 解得 r=5. ∴ CD=2r=10(cm). （二）教学例2 例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 1、 画图，写出已知和求证 （1）思路引导： ①根据命题画图；②写出已知求证；③写出证明过程. （2）PPT： 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行. 求证：=. 2、 讲解证明过程 证明：作直径EF⊥AB， ∴ =. 又∵ AB∥CD， EF⊥AB， ∴ EF⊥CD. ∴ =. 因此 -=-， 即 =. ∴ ∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC， 即 ∠BAC=∠BOC. 四、巩固练习 1、 如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E，连接OC，若AB=6，∠A=30°， 则OE的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 2、 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论正确是（ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. ∠B=∠C D. ∠B=∠AOD 【答案】B 3、 (沈河区模拟)如图，圆弧形拱桥的跨径AB=12m，拱高CD=4m，则拱桥的半径为 。 【答案】6.5m 【解析】根据垂径定理，则圆心O一定在弦AB的垂直平分线上，因而在CD的延长线上。 设圆心为O，⊙O的半径OA为rm. ∵ AB=12，∴ AD=6，OD=r-4. 在Rt△AOD中，由勾股定理得， OD +AD =OA ，即(r-4) +6 =r ， 解得r=6.5. 因此拱桥的半径为6.5m. 五、课堂总结 教师提问，学生回答，并展示下面知识要点 1、 什么叫作垂径定理？ PPT：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2、 在圆中，添加辅助线构成的三角形，常用的有哪些？ PPT：①以两条半径及所夹的弦构成的等腰三角形； ②过圆心作弦的垂线、作半径， ... ...