2.2 平面向量的线性运算 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 在矩形 中，，，则向量 的长度等于 A. B. C. D. 2. 已知向量 ，，且 ，，，则一定共线的三点是 A. 、 、 B. 、 、 C. 、 、 D. 、 、 3. 设 为两个非零向量 ， 的夹角，已知当实数 变化时 的最小值为 ，则 A. 若 确定，则 唯一确定 B. 若 确定，则 唯一确定 C. 若 确定，则 唯一确定 D. 若 确定，则 唯一确定 4. 设 为平行四边形 对角线的交点， 为平行四边形 所在平面内任意一点，则 等于 A. B. C. D. 5. 已知 的外接圆圆心为 ，且 ，，则向量 在向量 上的投影向量为 A. B. C. D. 6. 如图， 、 、 分别是 的边 、 、 的中点，则 A. B. C. D. 7. 如图，，， 是直线 上的不同的三点，且 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 8. 设 ，，，， 是平面上给定的 个不同点，则使 成立的点 的个数为 A. B. C. D. 9. 设 ，， 分别为 的三边 ，， 的中点，则 等于 A. B. C. D. 10. 若 ，，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 化简 ． 12. 化简： ． 13. 已知 为 内一点，，则 ． 14. 如图所示， 为 中 边的中点，设 ， ，则 ．（用 ， 表示） 15. 已知非零向量 ，， 两两不平行，且 ，，设 ，，则 ． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 根据下列各小题中的条件，分别判断四边形 的形状，并给出证明： （1）； （2）； （3），且 ． 17. （1）如图，在矩形 中， 是对角线 与 的交点．若 ，，， 试证明：； （2）已知 为四边形 所在平面外的一点，且向量 ，，， 满足等式 ．作图并观察四边形 的形状，并证明． 18. 在 中任取一点 ，取 ，， 分别表示 ，， 的面积，求证：． 答案 第一部分 1. B 2. A 【解析】，所以 、 、 三点共线． 3. A 【解析】如图， 记 ，，，则 ， 当 时， 取得最小值， 若 确定，则 唯一， 不确定， 若 确定， 可能有两解（图中 或 ）， 若 确定，则 不确定，从而 也不确定． 4. D 【解析】由已知，得 ，，，，而 ，，所以 ．故选D． 5. A 【解析】设 为 的中点，则 ，故 外接圆圆心 为 的中点，所以 ．又 ，所以 ，因此向量 在向量 上的投影向量为 ． 6. A 7. A 8. B 9. C 【解析】如图， 10. C 【解析】因为 且 ， 所以 ， 所以 ． 第二部分 11. 【解析】． 12. 【解析】因为 ， 所以 ． 13. 【解析】如图所示，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，， 则 所以 ， 所以 ，， 三点共线， 所以 ， 又 为 的中位线，， 所以 ． 设在 和 中， 边上的高分别为 ，，则 ， 所以 ． 14. ； 【解析】由平行四边形法则可知 ， 在 中，． 故答案为 ． 15. 【解析】因为非零向量 ，， 两两不平行，且 ，， 所以 ， ， 所以 因为 ，， 所以 ， 所以 ， 故答案为：． 第三部分 16. （1） 四边形 为平行四边形，证略． （2） 如图（）， 因为 ， 所以 且 ． 因此四边形 为梯形． （3） 如图（）， 因为 ， 所以 ，且 ． 因此四边形 为平行四边形． 又 ， 所以四边形 为菱形． 17. （1） （2） 通过作图可以发现四边形 为平行四边形． 证明如下： ， ， ， 与 平行且相等， 四边形 为平行四边形． 18. 如图所示，建立坐标系． 设 ，，，，， . 由于 ， 所以 得证． 第1页（共1 页） ... ...
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