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课件网) 5.5.2简单的三角恒等变换 人教A（2019）版 必修一 新知导入 温故知新 cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ Ｃ（α±β）： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ S(α±β)： tan(α±β) T(α±β): sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α= cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α tan2α= Ｓ2α： C2α： T2α： 和、差、倍角公式 新知讲解 半角公式 先看下面的例子：求cos150的值 由cos300=cos2×150=2cos2150-1，即cos2150= 又因为cos150>0，所以cos150= 可以看出通过倍角公式可以将半角化为整角，我们可以推导以下公式： 以上公式可以将二次降为一次，称作降幂公式。 新知讲解 降幂公式通过开方以后可以得到以下公式： 以上公式称作半角公式 新知讲解 新知讲解 例2.求证： 证明：(1)因为 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ， sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ 即 (2)由(1)可得 sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ． ① 设α＋β＝θ，α－β＝φ， 则： 把α，β的值代入①，即得 辅助角公式 利用和角差角公式，看下面例子： 反之 我们给出一般情况下的公式： 其中 新知讲解 新知讲解 例3、求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y＝sinx＋ cosx； (2)y＝3sinx＋4cosx 解：(1)y=sinx＋ cosx=2( sinx＋ cosx) =2(sinxcos ＋cosxsin ）=2sin(x＋ ) 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2 (2)设3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ），则 3sinx＋4cosx=Asinxcosφ＋Acosxsinφ． 则： Acosφ＝３，Asinφ＝４ A２cos2φ＋A２sin2φ＝25 所以 A２＝25 取A＝5，则cosφ＝ ，sinφ＝ 由y＝5sin(x＋φ)可知，所求周期为２π，最大值为５，最小值为-5 合作探究 例4、如图，已知OPQ是半径为１，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动 点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形 ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 解： 在Rt△ABC中，OB＝cosα，BC＝sinα 在Rt△OAD中， ＝tan60°＝ 所以 OA＝ DA＝ BC＝ sinα， AB＝OB－OA＝cosα－ sinα 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AB·BC =(cosα－ sinα)sinα ＝sinαcosα－ sin２α ＝ sin2α－ (1－cos2α） ＝ ( sin2α＋ cos2α)－ ＝ sin(2α＋ )- 由0＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ ，所以当2α＋ ＝ ，即α＝ 时， S最大＝ － ＝ 因此，当α＝ 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 合作探究 课堂练习 课堂总结 1、降幂公式、半角公式、辅助角公式 2、三角函数式的化简 (1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的 求值，必要时切化弦，更易通分、约分． (2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数． 板书设计 降幂公式： 半角公式： 辅助角公式： 其中 作业布置 3、课本P2286、7、9、12 https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php ... ...
