2.2 双曲线 一、选择题（共10小题；共50分） 1. 已知双曲线 的一个焦点落在直线 上，双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 2. 实轴长为 ，且过点 的双曲线的标准方程是 A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则该双曲线的标准方程为 A. B. C. D. 4. 设 是双曲线 的左焦点，， 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 5. 圆 ，圆 ，若圆 与两圆均外切，则圆心 的轨迹是 A. 双曲线的一支 B. 一条直线 C. 椭圆 D. 双曲线 6. 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，， 为双曲线的两条渐近线．设过点 且平行于 的直线交 于点 ．若 ，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 7. 如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是 A. B. C. D. 8. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为 的等边三角形（ 为原点），则双曲线方程为 A. B. C. D. 9. 设 是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 ，， 分别是双曲线的左、右焦点．若 ，则 A. 或 B. C. D. 10. 黄金分割起源于公元前 世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前 年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 ，把 称为黄金分割数，已知双曲线 的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数 的值为 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 11. 若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围为 ． 12. 经过点 ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 ． 13. 已知 为双曲线 ： 的一个焦点， 则点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 ． 14. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点．若 ，则 的离心率为 ． 15. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，，点 为双曲线上位于第一象限内一点，且 的面积为 ，则点 的坐标为 ． 三、解答题（共3小题；共39分） 16. 过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线，求此垂线与双曲线的交点 到左焦点 的距离． 17. 如图所示，过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 ， 两点，若 ，则这样的直线共有几条 18. 双曲线与圆 有公共点 ，圆在点 的切线与双曲线的渐近线平行，求双曲线的标准方程． 答案 第一部分 1. D 【解析】双曲线 的一个焦点落在直线 上， 可得焦点为 ，， 即有 ，即 ， 又双曲线的焦点 到渐近线 的距离为 ， 即有 ，解得 ， 则双曲线的方程为 ． 2. B 3. B 【解析】对于A选项，双曲线的渐近线为 ，不符合题意； 对于B选项，双曲线的渐近线为 ，且过点 ，符合题意； 对于C选项，双曲线的渐近线为 ，但不过点 ，不符合题意； 对于D选项，双曲线的渐近线为 ，不符合题意． 综上所述，本小题选B． 4. D 【解析】因为 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为 ，所以由双曲线定义知 ，而 ，两式相加得 ，当且仅当 ，， 三点共线时等号成立． 5. A 6. B 【解析】直线 的方程为 ，联立直线 与直线 得 ，又因为 ，所以 得 ，所以双曲线的离心率为 ． 7. C 8. D 【解析】双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为 的等边三角形（ 为原点）， 可得 ，，即 ，， 解得 ，，双曲线的焦点坐标在 轴，所得双曲线方程为：． 9. C 10. A 【解析】在双曲线 中，，， 所以 ， 因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 解得 ． 第二部分 11. 12. 【解析】设双曲线的方程为 ， 把点 代入，得 （舍负）， 故所求方程为 ． 13. 14. 【解析】 由题意，不妨设点 在第 ... ...
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