江西省南昌市湾里一中等六校2021-2022学年高二上学期期末考试数学(文)试卷（PDF版含答案）

2021-2022 学年度第一学期期末考试高二联考数学（文科）试卷 参考答案 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A C B A C D C D B 二、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分，满分 20 分． （13）6 （14）2 （15）( 1,2] （16） 7 三．解答题：本大题共 6小题，共 70 分. (17) （本小题满分 12 分）（每问 6分） 由题知 ： < < 3 ； ：2 ≤ < 4 (1)若 = 1，则 ：1 < < 3 ∵ ∨ 为真 ∴ ， 至少有一个为真，取 ， 的并集，即：1 < < 4 ∴实数 的取值范围为(1,4) (2)由题知 是 的充分不必要条件，故 ， < 2 ∴ 3 ≥ 4 4，解得： ≤ < 2，即实数 4的取值范围为[ , 2)3 3 > 0 (18) （本小题满分 12 分）（每问 6分） (1) ’( ) = 3 2 2 + (1) = 8 4 + = 8 = 3 由题意可得： ’(1) = 12，即 3 2 + = 12，解得： = 9 (2)由(1)知 ’( ) = 3 2 6 9 = 3( + 1)( 3) 令 ’( ) = 0 得 = 1或 = 3 当 ∈ [ 2,4]时， ’( )、 ( )随 变化的情况如下表： 2 ( 2, 1) 1 ( 1,3) 3 (3,4) 4 ’( ) + 0 0 + ( ) 1 极大值 8 极小值 24 17 由表可知： ( ) = ( 1) =8， ( ) = (3) = 24 (19) （本小题满分 12 分）（每问 6分） 2 (1)当 = 5 2时， ’( ) = + 2 5 = 2 5 +2 = (2 1)( 2) ( > 0) 令 ’( ) > 0得 0 < < 1 或 > 2，令 ’( ) < 0 1得 < < 2 2 2 ∴ ( ) 1 1的单调递增区间为(0, )和(2, + ∞)，单调递减区间为( , 2) 2 2 (2) 2由题知 ’( ) = + 2 ≥ 0在(0, + ∞)上恒成立 ∴ ≤ 2+ 2 在(0, + ∞) 2上恒成立，即 ≤ ( + 2 ) 又∵当 > 0 2时， + 2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号 ∴ ( 2 + 2 ) = 4，即 ≤ 4 ∴实数 的取值范围为( ∞, 4] (20) （本小题满分 12 分）（第一问 4分，第二问 8分） 2 2(1)设椭圆 的标准方程为 2 + 2 = 1( > > 0) 抛物线 2 = 4 3 的焦点坐标为(0, 3)，则 = 3 1 由 = ，且 2 = 2 + 2，得 = 2 2 2 2 ∴ 椭圆 的标准方程为 + = 1 【4分】 4 3 (2) 6当 = 2时，代入椭圆得 =± ，所以 = 6 【1分】 2 设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = 1 + 2 2 + 2 = 1 联立 4 3 消去 得： 21 + + 2 3 = 0 = + 2 由△= 2 4( 2 3) > 0，解得 2 < < 2 由韦达定理得 1 + 22 = ， 1 2 = 3 【3分】 1 1 四边形 的面积 = × × | 1 22| = × × ( 1 + 2) 4 1 2 2 2 = 6 12 3 2 2 ∴当 = 0， 6取到最大值， = × 12 = 3 2 【4分】2 (21) （本小题满分 12 分）（第一问 5分，第二问 7分） (1)当 = 1时， ( ) = ，则 ’( ) = 1 ( ∈ ) 令 ’( ) > 0得 < 0，令 ’( ) < 0得 > 0 ∴ ( )在( ∞, 0)上单调递增，在(0, + ∞)上单调递减 因此， ( )在 = 0处取极大值，极大值为 (0) = 1，无极小值 【5分】 (2) ∵存在 ∈ (0, + ∞)，使不等式 ( ) ≤ g( ) 成立 ∴ ≤ ≤ ，即 2 设 ( ) = 2，则问题转化为 ≤ ( ) ， ∈ (0, + ∞) 【2分】 ’( ) = 1 2 3 令 ’( ) > 0得 0 < < ，令 ’( ) < 0得 > ∴ ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减 【3分】 ∴当 = 时， ( )有最大值， ( ) = ( ) = 1 2 ∴ ≤ 1 1，即 的取值范围为( ∞, ] 【2分】 2 2 (22) （本小题满分 10 分）（第一问 4分，第二问 6分） 2 (1)曲线 = cos 1： 2 = 2sin ，消去参数 得： + = 1 【2分】4 曲线 2： sin( π ) = 1 3 1 6 ，即 sin cos = 12 2 将 = cos ， = sin 代入化简可得： 3 + 2 = 0 【2分】 (2)经检验 (1, 3)在曲线 2上 = 1 + 3 则曲线 2的参数方程可写为： 21 ( 为参数) 【2分】 = 3 + 2 代入曲线 1，得：13 2 + 20 3 + 12 = 0 【2分】 设 、 两点对应的参数分别为 1、 2 则由韦达定理得： 1 + = 20 3 2 （ 13 1、 2同号） 故 + = 1 + 2 = 20 3 【2分】 132021-2022 学年度第一学期期末联考高二数学（文科）试卷 ... ...