7.3.4正切函数的性质与图像 【教学目标】 1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质． 2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题. 【教学重点】 正切函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）. 【教学难点】 对正切函数周期性的理解. 【教学过程】 一、课前预习 预习课本，思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些性质？ (2)正切函数在定义域内是不是单调函数？ 二、课前小测 1．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A．y＝tan x B．y＝cos x C．y＝tan D．y＝－tan x 答案：C 解析：A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C. 2．函数y＝tan的定义域为_____． 答案： 解析：因为2x－≠kπ＋，k∈Z， 所以x≠＋，k∈Z 所以函数y＝tan的定义域为 . 3．函数y＝tan 3x的最小正周期是_____． 答案： 解析：函数y＝tan 3x的最小正周期是. 4．函数y＝tan的单调增区间是_____． 答案：，k∈Z 解析：令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z 得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z 即函数y＝tan的单调增区间是，k∈Z. 三、新知探究 正切函数的图像与性质 解析式 y＝tan x 图像 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 四、题型突破 题型一 有关正切函数的定义域、值域问题 【例1】 (1)函数y＝的值域是( ) A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，＋∞) (2)函数y＝3tan的定义域为_____． (3)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域为_____． [思路点拨] 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线． 答案：(1)B (2) (3) 解析：(1)当－＜x＜0时，－1＜tan x＜0，∴≤－1； 当0＜x＜时，0＜tan x＜1，∴≥1. 即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z， 所以函数的定义域为. (3)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则 即－1≤tan x<1. 在上满足上述不等式的x的取值范围是. 又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为. 【反思感悟】 1．求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z. (2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x. 2．解形如tan x＞a的不等式的步骤 提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件． 【跟踪训练】 1．函数y＝tan的定义域是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意tan＞0， 即tan＜0， ∴kπ－＜x－＜kπ， ∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选B. 2．求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域． 解：由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)， 所以函数的定义域为. 设t＝tan， 则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥， 所以原函数的值域是. 题型二 正切函数奇偶性、周期性和图像的对称性 【例2】 (1)函数f(x)＝tan的周期为_____． (2)已知函数y＝tan，则该函数图像的对称中心坐标为_____． (3)判断下列函数的奇偶性： ①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x. [思路点拨] (1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期． (2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出． (3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系． 答案：(1) (2)，k∈Z 解析：(1)法一：(定义法) ∵tan＝tan， 即tan＝tan， ∴f(x)＝tan的周期是. 法二：(公式法) f(x)＝tan的周期T＝. (2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图像的对称中心坐 ... ...
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