【2013高考数学攻略】专题9：数学解题方法之待定系数法探讨

【2013高考数学攻略】 专题9：数学解题方法之待定系数法探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于高中数学教材的各个部分，在全国各地高考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“设， 的反函数，那么的值依次为　　▲　�———�，解答此题，并不困难，只需先将化为反函数形式，与中对应项的系数加以比较后，就可得到关于的方程组，从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“与直线L：平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是　　▲　�———�，解答此题，只需设定直线L’的方程为，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）； （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨待定系数法的应用：（1）待定系数法在函数问题中的应用；（2）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（3）待定系数法在三角函数问题中的应用；（4）待定系数法在数列问题中的应用。 一、待定系数法在函数问题中的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年浙江省理4分）若将函数表示为 ， 其中，，，…，为实数，则 ▲ ． 【答案】10。 【考点】二项式定理，导数的应用。 【解析】　用二项式定理，由等式两边对应项系数相等得。 或对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用特殊元素法，令得：，即。 例2.（2012年山东省文4分）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m， 且函数在上是增函数，则a＝ ▲ . 【答案】。 【考点】函数的增减性。 【解析】∵，∴。 当时， ∵，函数是增函数， ∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。 此时，它在上是减函数，与题设不符。 当时， ∵，函数是减函数， ∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。 此时，它在上是增函数，符合题意。 综上所述，满足条件的。 　例3. （2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中．若， 则的值为 ▲ ． 【答案】。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。 又∵，， ∴②。 联立①②，解得，。∴。 例4. （2012年全国大纲卷文12分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设有两个极值点，，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值． 【答案】解：（1）∵，∴ ① 当 时，，且仅当时。∴是增函数。 ②当 时，有两个根。列表如下： 的增减性 ＞0 增函数 ＜ 减函数 ＞0 增函数 （2）由题设知，，是的两个根，∴，且。 ∴ 。 同理，。 ∴直线的解析式为。 设 ... ...