2022届高三数学压轴题专练——立体几何1

2022届高三数学压轴题专练———立体几何 1．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 2．如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直． (1)求异面直线AE与BD所成角的大小； (2)在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，且，，试用x，y来表示线段MN的长度； (3)在（2）的条件下，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段 3．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 4．已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面. （1）设，，，试用基底表示向量； （2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 5．如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=， （1）求证：直线AC⊥平面BDB1； （2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值. 6．已知椭圆的左、右焦点分别为、．经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴确定的半平面，与负半轴和轴所确定的半平面互相垂直． ①若，求异面直线和所成角的大小； ②若折叠后的周长为，求的大小． 7．如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为. （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？ 8．如图，已知四边形由和拼接而成，其中，，，，将沿着折起. （1）若，求异面直线与所成角的余弦值； （2）当四面体的表面积的最大时，求二面角的余弦值. 9．如图，在梯形中，，，，现将沿翻折成直二面角. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角余弦值的大小. 10．如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD, △PBC沿 PA,PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2．在三棱锥P-OAB中，E为 PB中点． (Ⅰ)求证：PO⊥AB; (II）求直线BP与平面POA所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E的大小． 11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长． 12．如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．已知三棱柱中，平面⊥平面，⊥，． （1）求证：⊥平面； （2）求平面与平面所成二面角的余弦值． 14．某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方材料切割成三棱锥． （Ⅰ）若点分别是棱的中点，点是上的任意一点，求证：； （Ⅱ）已知原长方体材料中，，，，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高； （i）甲工程师先求出所在直线与平面所成的角，再根据公式求出三棱锥的高.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高； （ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如右图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的的值是多少？（请直接写出的值，不要求写出演算或推证的过程） 15．如图，菱形的边长为2，现将沿对角线AC折起至位置，并使平面平面． （1）求证：； （2）在菱形中，若，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （3）求四面体PABC体积的最大值． 16．在如图所示的几何体中， 四边形是正方形,,,且,,. （Ⅰ）若 ... ...