【2013高考数学攻略】专题10：数学解题方法之配方法探讨

【2013高考数学攻略】 专题10：数学解题方法之配方法探讨 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 专题3～8，我们对数学思想方法进行了探讨，从专题9开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： ； ； ； 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： ； 。 结合2012年全国各地高考的实例探讨配方法的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ． 【答案】9。 【考点】函数的值域，不等式的解集。 【解析】由值域为，当时有，即， ∴。 ∴解得，。 ∵不等式的解集为，∴，解得。 例2.（2012年全国大纲卷理5分）已知为第二象限角，，则【 】 A． B． C． D． 【答案】A。 【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。 【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值，然后然后利用二倍角的余弦公式，将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题： ∵，∴两边平方，得，即。 ∵为第二象限角，∴因此。 ∴。 ∴。故选A。 例3.（2012年湖北省理5分）如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D。则 （Ⅰ）双曲线的离心率e= ▲ ； （Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 ▲ 。 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。 【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义，一般平面几何图形的面积计算。 【解析】（Ⅰ）由已知 ，解得。 （Ⅱ）由已知得，又直线的方程为，而直线的方程为， 联立解得， ∴，。 例4.（2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7. （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） 【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。 ∵A（0，12）， ∴ 。 ∴救援船速度的大小为海里/时。 由tan∠OAP=，得， ∴救援船速度的方向为北偏东弧度。 （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。 由，整理得。 ∵当即=1时最小，即。 ∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。 【考点】曲线与坐标。 【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。 （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。 例5.（2012年广东省理14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程； （2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵，∴可设 。 ∴，故椭圆C的方程为。 设为 ... ...