中小学教育资源及组卷应用平台 第一讲 圆的标准方程 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( ) A．(－1,5)， B．(1，－5)， C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3 答案 B 2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案 A 解析 方法一 (直接法) 设圆的圆心为C(0，b)，则＝1， ∴b＝2， ∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 方法二 (数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1. 3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ( ) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 答案 A 解析 ∵AB的中点坐标为(0,0)， |AB|＝＝2， ∴圆的方程为x2＋y2＝2. 4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是_____． 答案 1 解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为14－＝1.21世纪教育网版权所有 5．求下列圆的标准方程． (1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)； (2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆． 解 (1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心， ∴圆心坐标为(4,1)，半径为 r＝＝＝＝， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26. (2)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心， 由kCD＝＝1，CD的中点坐标为(0,2)， ∴CD的垂直平分线为y＝－x＋2. 则圆心坐标为(2,0)，r＝＝， ∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. 1．判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断： 点P(x0，y0)在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P(x0，y0)在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2r2. 2．求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质： (1)弦的垂直平分线必过圆心． (2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． (3)圆心与切点的连线长是半径长． (4)圆心与切点的连线必与切线垂直． 3．求圆的标准方程常用方法 (1)待定系数法．(2)直接法． 课时作业 一、选择题 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( ) A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4 答案 A 2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( ) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 答案 B 解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上， 圆的半径为r＝＝. 故所求圆的标准方程为 (x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 答案 C 解析 根据圆在直线x＋y－2＝0上可排除B、D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确． 4．点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( ) A．|a|＜1 B．a＜ C．|a|＜ D．|a|＜ 答案 D 解析 依题意有(5a)2＋144a2＜1， 所以169a2＜1， 所以a2＜，即|a|＜，故选D. 5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( ) A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 答案 D 解析 设圆心坐标为(a,0)， 由题意知＝，∴|a|＝5. ∵圆C位于y轴左侧 ... ...
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